Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

On appelle densité toute fonction \( f : \mathbb{R} \mapsto [0; +\infty[ \), intégrable sur \( \mathbb{R} \), dont l'intégrale vaut \( 1 \).

On dit que \( X \) a une loi de densité \( f \) si pour tout intervalle \( [a; b] \subset\mathbb{R} \) :

\( p(a\leq X \leq b) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \)

1. Les formules à retenir

Le moment d'ordre \( n\in\mathbb{N}^* \), sous réserve d'existence, est :

\( E(X^n) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} x^n f(x)dx \)

Le théorème de transfert, sous réserve d'existence, est :

\( E(\Phi(X)) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(x) f(x)dx \)

où \( \Phi \) est une fonction de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \).

2. Les lois usuelles à connaître