Dans tout ce qui suit, \( X \) désigne une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \( (\Omega, P) \).

\( X \) est dite discrète si elle prend un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs.

Notons par \( I \) l'ensemble des valeurs prises par \( X \). Ainsi :

\( I = Im(X) = X(\Omega) \)

\( I = \left\{x\in\mathbb{R} | \exists \omega\in\Omega : X(\omega) = x \right\} \)

La loi de \( X \) est donnée par :

\( \begin{array}{c l} {\cal L}_X : & \mathbb{R} \to [0; 1] \\ & x\mapsto {\cal L}_X(x) = p(X = x) \\ \end{array} \)

1. Les formules à retenir

Le moment d'ordre \( n\in\mathbb{N}^* \), sous réserve de convergence, est :

\( E(X^n) = \displaystyle\sum_{x\in I} x^n P(X=x) \)

Le théorème de transfert, sous réserve de convergence, est :

\( E(f(X)) = \displaystyle\sum_{x\in I} f(x) P(X=x) \)

où \( f \) est une fonction de \( I \) dans \( \mathbb{R} \).

La fonction génératrice de \( X \) est :

\( \begin{array}{c l} G_X : & [-1; 1] \to \mathbb{R}\\ & t \mapsto G_X(t) = \small\displaystyle\sum_{x\in I} t^x P(X=x)\\ \end{array} \)

Nous obtenons alors, sous réserve d'existence :

\( E(X) = G'(1^-) \)

\( V(X) = G''(1^-) + G'(1^-) - G'(1^-)^2 \)

2. Les lois usuelles à connaître

\( {\cal B}(n) \) : la loi de Bernoulli
\( {\cal G}(n, p) \) : la loi géométrique
\( {\cal B}(n, p) \) : la loi binomiale
\( {\cal P}(\lambda) \) : la loi de Poisson
\( {\cal H}(N, n, p) \) : la loi hypergéométrique