Variables aléatoires réelles discrètes

Probabilité discrète - Introduction
 | Vendredi 31 Octobre 2025

Dans tout ce qui suit, \( \Omega \) désigne un ensemble quelconque.
Il est appelé univers.
Ses éléments sont appelés des issues.

On note \( {\cal P}(\Omega) \) l'ensemble des parties de \( \Omega \).

1. Espace probabilisable

1.Définition - Un ensemble \( {\cal A}\subset{\cal P}(\Omega) \) est appelé \( \sigma \)-algèbre (ou tribu) sur \( \Omega \) s'il vérifie les propriétés suivantes :
  • \( \Omega\in{\cal A} \)
  • Toute réunion finie ou dénombrable d'éléments de \( {\cal A} \) appartient à \( {\cal A} \).
  • Tout complémentaire d'un élément de \( {\cal A} \) appartient à \( {\cal A} \).

Les éléments d’une \( \sigma \)-algèbre sont appelés des événements.
S'il s’agit d’un singleton, on précisera par événement élémentaire.

On dit alors que \( (\Omega; {\cal A}) \) forme un espace probabilisable.

2. Propriétés - Si \( (\Omega; {\cal A}) \) est un espace probabilisable, alors :
  • \( \varnothing\in{\cal A} \)
  • toute intersection finie ou dénombrable d'éléments de \( {\cal A} \) appartient à \( {\cal A} \).
Démonstration - Il s’agit des règles algébriques usuelles sur les ensembles.
  • \( \varnothing = \overline{\Omega}\in{\cal A} \).
  • Considérons une famille dénombrable \( (A_i)_{i\in I} \) d’événements de \( \cal A \).
    Alors \( \displaystyle\bigcap\limits_{i\in I}^{} A_i = \overline{\bigcup\limits_{i\in I}^{} \overline{A_i}}\in{\cal A} \).

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2. Espace probabilisé

Considérons un espace probabilisable \( (\Omega; {\cal A}) \).

1. Définition - Une application \( P: {\cal A} \longrightarrow [0; 1] \) est appelée probabilité si elle vérifie les propriétés suivantes :
  • \( P(\Omega) = 1 \)
  • Pour toute famille dénombrable d'événements \( (A_i)_{i \in I} \) deux à deux disjoints, la famille \( (P(A_i))_{i \in I} \) est sommable et

\( \displaystyle \sum_{i\in I} P(A_i) = P\left(\bigcup\limits_{i\in I}^{.} A_i \right) \)

On dit alors que \( (\Omega; {\cal A}; P) \) forme un espace probabilisé.

2. Propriétés - Si \( (\Omega; {\cal A}; P) \) est un espace probabilisé, alors :
  • \( P(\varnothing) = 0 \)
  • Pour tout \( A\in\cal A \), \( P(\overline{A}) = 1 - P(A) \).
  • Pour tous \( A\in\cal A \) et \( B\in\cal A \), \( P(A\cup B) + P(A\cap B)= P(A) + P(B) \).

Démonstration

1. \( A \) et \( \overline{A} \) sont disjoints. Donc \( P(A) + P(\overline{A}) = P(\Omega) = 1 \). D'où :

\( \displaystyle P(\overline{A}) = 1 - P(A) \)

2. On applique ce qui précède à \( A = \Omega \). Donc :

\( \displaystyle P(\varnothing) = P(\overline{\Omega}) = 1 - P(\Omega) = 1-1 = 0 \)

3. \( A\cap\overline{B} \) et \( A\cap B \) sont disjoints. Donc :

\( \displaystyle P(A\cap\overline{B}) + P(A\cap B) = P(A) \)

4. \( A\cap\overline{B} \) et \( B \) sont disjoints. Donc :

\( \displaystyle P(A\cup B) + P(A\cap B) = P(A\cap\overline{B}) + P(B) + P(A\cap B) = P(A) + P(B) \)

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3. Indépendance

Considérons un espace probabilisé \( (\Omega; {\cal A}; P) \).

Définition - On dit que \( A\in{\cal M} \) et \( B\in{\cal M} \) sont indépendants si :

\( \displaystyle P(A\cap B) = P(A)\times P(B) \)

Attention à ne pas confondre événements indépendants et disjoints !

On généralise cette notion à \( n\in{\mathbb N}^* \) événements \( (A_n) \) : ils sont (mutuellement) indépendants si pour tout \( I\subset\left[\!\left[1; n\right]\!\right] \),

\( \displaystyle P\left(\bigcap\limits_{i\in I} A_i\right) = \prod_{i\in I} P(A_i) \)

Cette condition est très restrictive, bien plus qu'avoir des événements deux à deux indépendants. Ainsi, si des événements sont mutuellement indépendants, alors ils le sont aussi deux à deux - la réciproque étant clairement fausse.

4. V.a.r. discrète

Considérons un espace probabilisé \( (\Omega; {\cal M}; P) \).

1. Définition - On appelle variable aléatoire réelle discrète toute application \( X: \Omega \longrightarrow {\mathbb R} \) telle que :
  1. \( X(\Omega) \) est fini ou dénombrable.
  2. Pour tout \( x\in X(\Omega) \), \( X^{-1} (x)\in{\cal M} \).

Par ailleurs, on dit que \( X \) est une variable aléatoire entière si \( X(\Omega)\subset{\mathbb N} \).

Par la suite, l’ensemble \( X^{-1}(x) \) sera noté \( \{X = x\} \).

2. Définition - On appelle loi de \( X \) l'application :

\( P_X : {\mathbb R} \)\( \to [0; 1] \)
\( x \)\( \mapsto P_X(x) = P(X = x) \)

Il est amusant de noter que, par construction, \( (X(\Omega), {\cal P}(X(\Omega)), P_X) \) est un espace probabilisé !