Les fonctions considérées dans cette section sont définies sur un ouvert de \( {\mathbb R}^n \) à valeurs dans \( {\mathbb R}^p \).

1. Fonctions différentiables

Dérivée selon un vecteur.
Développement limité à l'ordre 1.
Différentiabilité en un point.
Interprétation géométrique (plan tangent à une surface).
Matrice jacobienne, déterminant jacobien.
Différentielle d'une fonction composée.
Inégalité des accroissements finis sur un ouvert convexe (admise).

Une fonction \( f \) définie sur un ouvert \( \Omega \) est dite de classe \( {\mathscr C}^1 \) si l'application qui à tout point \( a \) de \( \Omega \) fait correspondre la différentielle de \( f \) en \( a \) est continue.

Théorème : pour qu'une fonction soit de classe \( {\mathscr C}^1 \) sur un ouvert \( \Omega \), il faut et il suffit qu'elle admette des dérivées partielles continues sur \( \Omega \).

Composition des fonctions de classe \( {\mathscr C}^1 \).
Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe \( {\mathscr C}^1 \).
Caractérisation des constantes parmi les fonctions de classe \( {\mathscr C}^1 \) sur un ouvert connexe.

Applications de classe \( {\mathscr C}^k \).
Théorème de Schwarz pour les fonctions de classe \( {\mathscr C}^2 \).

Gradient d'une fonction numérique de classe \( {\mathscr C}^1 \).
Formule de Taylor-Young pour une fonction de classe \( {\mathscr C}^2 \).
Extrémums locaux d'une fonction de classe \( {\mathscr C}^2 \) de deux variables en un point où \( rt − s^2 \neq 0 \).

Exemples de problèmes d'extrémums issus de la géométrie.

Difféomorphismes.
Théorèmes (admis) d'inversion locale et des fonctions implicites.
Application à la caractérisation des \( {\mathscr C}^k \)-difféomorphismes parmi les fonctions injectives de classe \( {\mathscr C}^k \).

2. Équations différentielles

1. Équations différentielles linéaires

Systèmes linéaires \( X' = A(t)X + B(t) \), où \( A \) (resp. \( B \)) est une application continue d'un intervalle \( I \) dans \( {\mathscr M}_n({\mathbb C}) \) (resp. \( {\mathbb C}_n \)).

Théorème (admis) d'existence et unicité de la solution sur \( I \) du problème de Cauchy.

Dimension de l'espace des solutions de l'équation homogène.
Méthode de la variation des constantes.
Systèmes à coefficients constants : exponentielle d'un endomorphisme, application au problème de Cauchy; résolution du système \( X' = AX \) par diagonalisation ou triangularisation de \( A \), ou au moyen de l'exponentielle de \( tA \), \( t \) réel.

Équations linéaires scalaires \( x'' + a(t)x' + b(t)x = c(t) \) où \( a, b, c \) sont continues sur un intervalle \( I \) et à valeurs complexes.
Système du premier ordre associé, étude du problème de Cauchy; solution de l'équation sans second membre, méthode de variation des constantes.
Résolution lorsqu'une solution de l'équation sans second membre ne s'annulant pas sur \( I \) est connue.

2. Notions sur les équations différentielles non linéaires

Solutions d'une équation \( x' = f (t, x) \), ou \( x'' = f (t, x, x') \), où \( f \) est de classe \( {\mathscr C}^1 \) sur un ouvert de \( {\mathbb R}^2 \) ou \( {\mathbb R}^3 \).
Théorème (admis) de Cauchy-Lipschitz dans le cas \( {\mathscr C}^1 \) : existence et unicité d'une solution maximale au problème de Cauchy.

Exemples d'études qualitatives.

Résolution d'équations à variables séparables ou homogènes; exemples d'emploi de changements de variable ou de fonction en liaison avec des propriétés d'invariance.

Applications en physique (oscillateurs harmoniques, mouvement du pendule, chute des corps, mouvement des planètes) et en géométrie différentielle (trajectoires dans un champ de vecteurs).