Distributivité en calcul littéral

Analyse
 | Mercredi 10 Septembre 2025

La distributivité en calcul littéral consiste à factoriser ou développer, partiellement ou complétement, une expression littérale.
C'est très utile pour résoudre certaines équations, ou pour faire apparaître des formes canoniques dans l'expression de certaines fonctions.

1. Double distributivité

Rappel : pour tous nombres réels \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \),

\( (a + b) \times (c + d) = a\times c + a\times d + b\times c + b\times d \)

Exemple : on considère l'expression \( A \) définie pour tout réel par

\( A = (5 + x)(3 - 2x) \)

Développer et réduire \( A \).

\( A \)\( = 5\times 3 + 5 \times (-2x) + x \times 3 + x \times (-2x) \)
\( = 15 -10x+ 3x -2 x^2 \)
\( = -2x^2 -7x+15 \)

2. Identités remarquables

Il existe trois applications de la double distributivité, à connaître par cœur évidemment.

a) À retenir : pour tous nombres réels \( a \) et \( b \),

\( (a + b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2 \)

Preuve : vu la double distributivité,

\( (a + b)^2 \)\( = (a+b)\times(a + b) \)
\( = a\times a + a\times b + b\times a + b\times b \)
\( = a^2 + 2 ab + b^2 \)
Exemple : on considère les fonctions \( f \) et \( g \) définies pour tout réel par \( f(x) = (5 + x)^2 \)   et   \( g(x) = x^2 + 20x + 100 \)
  1. Développer et réduire \( f(x) \).
  2. Factoriser \( g(x) \).
SOLUTION
  1. \( f(x) = (5 + x)^2 = 5^2 + 2\times 5\times x + x^2 = x^2 + 10x +25 \)
  2. \( g(x) = x^2 + 20x + 100 = x^2 + 2\times 10\times x +10^2 = (x+10)^2 \)

 

b) À retenir : pour tous nombres réels \( a \) et \( b \),

\( (a - b)^2 = a^2 - 2 ab + b^2 \)

Preuve : vu la double distributivité,

\( (a + b)^2 \)\( = (a-b)\times(a - b) \)
\( = a\times a - a\times b - b\times a + b\times b \)
\( = a^2 - 2 ab + b^2 \)
Exemple : on considère les fonctions \( f \) et \( g \) définies pour tout réel par \( f(x) = (7 - x)^2 \)   et   \( g(x) = x^2 -12x + 36 \)
  1. Développer et réduire \( f(x) \).
  2. Factoriser \( g(x) \).
SOLUTION
  1. \( f(x) = (7 - x)^2 = 7^2 - 2\times 7\times x + x^2 = x^2 - 14x +49 \)
  2. \( g(x) = x^2 -12x + 36 = x^2 - 2\times 6\times x +6^2 = (x - 6)^2 \)

 

c) À retenir : pour tous nombres réels \( a \) et \( b \),

\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)

Preuve : vu la double distributivité,

\( (a + b)(a - b) \)\( = a\times a - a\times b + b\times a - b\times b \)
\( = a^2 - b^2 \)
Exemple : on considère les fonctions \( f \) et \( g \) définies pour tout réel par \( f(x) = (9-x)(9 + x) \)   et   \( g(x) = x^2 - 121 \)
  1. Développer et réduire \( f(x) \).
  2. Factoriser \( g(x) \).
SOLUTION
  1. \( f(x) = (9-x)(9 + x) = 9^2 - x^2 = 81 - x^2 \)
  2. \( g(x) = x^2 - 121 = x^2 -11^2 = (x+11)(x-11) \)