À la manière d'Al-Khwârizmî qui écrivit son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison (entre 813 et 833) pour expliquer la résolution des équations de son époque, passons en revue quelques techniques accessibles en lycée.

1. Type "a + x = b "

Méthode 1 - Pour résoudre une équation du type "\( a + x = b \)", il faut compenser par \( -a \) chaque membre de l'équation.

Exemple : cherchons à résoudre l'équation : \( 11 + x = 9 \).

\( \begin{align} 11 + x &= 9 \\ 11 + x ~\color{green}{- 11} &= 9 ~\color{green}{- 11}\\ x &= -2 \end{align} \)

La solution de l'équation est \( x = -2 \).

2. Type "a x = b "

Attention ! Cela n'a de sens que si \( a \neq 0 \), évidemment

Méthode 2 - Pour résoudre une équation du type "\( a \times x = b \)", il faut compenser par \( \div a \) chaque membre de l'équation.

Exemple : cherchons à résoudre l'équation : \( 11 x = 9 \).

\( \begin{align} 11 x &= 9 \\ 11 x ~\color{green}{\div 11} &= 9 ~\color{green}{\div 11}\\ x &= \frac{9}{11} \end{align} \)

La solution de l'équation est \( x = \frac{9}{11} \).

3. Type "a x + b = c "

Méthode 3 - Pour résoudre une équation du type "\( a \times x + b = c \)", il faut d'abord compenser par \( - b \) chaque membre de l'équation, et ainsi se ramener à la méthode précédente

Exemple : cherchons à résoudre l'équation : \( 11 x + 9 = 7 \).

\( \begin{align} 11 x + 9 &= 7 \\ 11 x + 9 ~\color{green}{- 9} &= 7 ~\color{green}{- 9}\\ 11 x &= -2\\ & \\ 11 x ~\color{green}{\div 11}&= - 2~\color{green}{\div 11}\\ x &= -\frac{2}{11} \end{align} \)

La solution de l'équation est \( x = -\frac{2}{11} \).

4. Type "a x + b = c x + d"

Méthode 4 - Pour résoudre une équation du type "\( a \times x + b = c \times x + d \)", il faut d'abord compenser par \( - c\times x \) chaque membre de l'équation et ainsi se ramener à la méthode précédente

Exemple : cherchons à résoudre l'équation : \( 11 x + 9 = 7 x + 5 \).

\( \begin{align} 11 x + 9 &= 7 x + 5 \\ 11 x + 9 ~\color{green}{- 7 x} &= 7 x + 5 ~\color{green}{- 7 x}\\ 4 x + 9 &= 5 \\ & \\ 4 x + 9 ~\color{green}{- 9} &= 5 ~\color{green}{- 9}\\ 4 x &= -4\\ & \\ 4 x ~\color{green}{\div 4}&= - 4~\color{green}{\div 4}\\ x &= -\frac{4}{4} = -1 \end{align} \)

La solution de l'équation est \( x = -1 \).

5. Equation produit

Propriété - dans \( \mathbb{R} \) un produit de facteur est nul si - et seulement si - l'un des facteurs est nul.

Exemple : cherchons à résoudre l'équation : \( (11 x + 9)\times (7 x + 5) = 0 \).

Puisqu'un produit de facteur est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul,

\( \begin{align} 11 x + 9 &= 0 \\ 11 x &= 0-9\\ 11 x &= -9\\ x &= -9\div 11\\ x &= -\dfrac{9}{11}\\ \end{align} \)

ou

\( \begin{align} 7 x + 5 &= 0 \\ 7 x &= 0-5\\ 7 x &= -5\\ x &= -5\div 7\\ x &= -\dfrac{5}{7}\\ \end{align} \)

L'équation admet exactement deux solutions \( x_1 = -\dfrac{9}{11} \) et \( x_2 = -\dfrac{5}{7} \).