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Les vecteurs sont les éléments servant à caractériser les déplacements, c'est à dire les transformations que l'on appelle des translations.
Ils permettent de donner un cadre à la notion d'écartement entre les points.
1. Notion de vecteur
- d'une droite, appelée direction du vecteur.
- d'un sens sur cette droite.
- d'une longueur, appelée norme du vecteur.
- direction : la droite \( (AB) \).
- sens : de \( A \) vers \( B \).
- norme : la longueur \( AB \).
- deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont des directions parallèles.
- deux vecteurs sont égaux s'ils ont des directions parallèles, le même sens et de même normes.
- deux vecteurs sont opposés s'ils ont des directions parallèles, des sens différents et de même normes.
Remarque - Des vecteurs égaux sont donc colinéaires.
De même, des vecteurs opposés sont colinéaires.
Exemple : considérons deux points \( A \) et \( B \).
Alors le vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est l'opposé du vecteur \( \overrightarrow{BA} \).
Attention !
Que se passe-t-il si on souhaite caractériser une translation allant de \( A \) en \( A \) ?
Il n'y a pas de mouvement ! On définit ainsi le vecteur nul, noté \( \vec{0} \).
S'il n'a pas de direction, pas de sens, il a tout de même une norme : 0.
2. Multiplier les vecteurs
Alors \( k\times\overrightarrow{AB} \) est un vecteur ayant :
- une direction : une droite parallèle à \( (AB) \).
- un sens : de \( A \) vers \( B \) si \( k \) est positif, et de \( B \) vers \( A \) si \( k \) est négatif.
- une norme : \( k\times AB \).
Exemple : considérons un segment \( [AB] \) et son milieu \( M \).
Alors :
\( \overrightarrow{MA} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{BA} \)
\( \overrightarrow{MB} = \dfrac{1}{2} \overrightarrow{AB} \)
\( \overrightarrow{AB} = 2 \overrightarrow{MB} = -2 \overrightarrow{AM} \)
Propriété ! Deux vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel \( k \neq 0 \) tel que \( \vec{u} = k\times\vec{v} \).
Preuve : admis !
3. Relation de Chasles
Propriété - considérons deux vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \).
Alors : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \)
