La fonction inverse fait partie des fonctions usuelles, dont il faut connaître par coeur les caractéristiques.

Pour tout la leçon, on considère la fonction \( f : x \mapsto \dfrac{1}{x} \)

1. Ensemble de définition

La fonction inverse est définie et dérivable sur \( E = ]-\infty; 0[ \cup ] 0; +\infty[ \).

2. Dérivation

Pour tout \( x\in E \), on a :

\( f'(x) = -\dfrac{1}{x^2} \)

Ainsi, \( f'(x) \) est négative pour tout réel \( x \neq 0 \).

Donc \( f \) est décroissante sur \( ]-\infty; 0[ \) et sur \( ] 0; +\infty[ \).

3. Variation

\( \begin{array}{|c|ccccr|} \hline x & -\infty & & & 0 & & & +\infty \\\hline f'(x) & & - & & \lVert & & - & \\\hline & 0 & & & \lVert & +\infty & & \\ f & & \searrow & & \lVert & & \searrow & \\ & & & -\infty & \lVert & & & 0 \\\hline \end{array} \)