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Une suite géométrique est un exemple important de suite définie par une relation de récurrence : l'écart entre deux valeurs successives augmente continuellement.
1. Définition
Une suite \( (u_n) \) est géométrique s'il existe un nombre \( q \) tel que pour tout entier \( n \),
\( u_{n+1} = u_n \times q \)
Dans ce cas, on dit que \( q \) est la raison de la suite \( (u_n) \).
2. Variation
Suivant les valeurs du premier terme et de la raison, il peut se passer tout et n'importe quoi. Quelques exemples :
- Si \( u_0 = 1 \) et \( q = 2 \), la suite est croissante.
- Si \( u_0 = 1 \) et \( q = 0,5 \), la suite est décroissante.
- Si \( u_0 = -1 \) et \( q = 2 \), la suite change constamment de signe !
3. Expression
Propriété - On considère une suite \( (u_n) \) géométrique de raison \( q \).
Alors pour entier \( n \),
\( u_n = u_0 \times q^n \)
Explication
Pour comprendre cette expression, il faut détailler le calcul terme à terme :
\( u_1 = u_0 \times q \)
\( u_2 = u_1 \times q = u_0 \times q\times q = u_0 \times q^2 \)
\( u_3 = u_2 \times q = u_0 \times q^2 \times q = u_0 \times q^3 \)
Et ainsi de suite…
Remarque
Cette explication n'est pas une preuve ! La démonstration de la propriété nécessite l'utilisation du raisonnement pas récurrence, ce qui est hors programme.
4. Sommation
Propriété - On considère une suite \( (u_n) \) géométrique de raison \( q \neq 1 \).
Alors pour entier \( n \),
\( \displaystyle\sum_{i=0}^{n} u_i = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \)
Preuve
Commençons par utiliser l'expression précédente, et factorisons par \( u_0 \).
\( \displaystyle\sum_{i=0}^{n} u_i = \sum_{i=0}^{n} u_0 \times q^i = u_0 \times \sum_{i=0}^{n} q^i \)
De plus, en développant et en jouant sur les indices des sommes :
| \( \displaystyle (1 - q) \sum_{i=0}^{n} q^i \) | \( =\displaystyle 1\times \sum_{i=0}^{n} q^i \) | \( - \displaystyle q \times \sum_{i=0}^{n} q^i \) | |
| \( = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} q^i \) | \( - \displaystyle \sum_{i=0}^{n} q\times q^{i} \) | ||
| \( = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} q^i \) | \( -\displaystyle \sum_{i=0}^{n} q^{i+1} \) | ||
| \( = \displaystyle \sum_{i=0}^{n} q^i \) | \( -\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1} q^i \) | ||
| \( = \displaystyle 1 - q^{n+1} \) |
D'où : \( \displaystyle\sum_{i=0}^{n} q^i = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \).
5. Représentation
On considère une suite \( (u_n) \) géométrique de raison \( q> 0 \).
Alors pour entier \( n \), on a vu que \( u_n = u_0 \times n^q \).
Autrement dit, on peut écrire que \( u_n = f(n) \), où \( f \) est une fonction exponentielle de base \( q \).
On obtient donc pour représentation des points régulièrement disposés sur une courbe exponentielle !