Une variable aléatoire est une description d'une situation aléatoire, associant à chaque issue une valeur. Ici, la variable aléatoire est discrète, c'est à dire qu'elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.

Dans tout ce chapitre, \( X \) désigne une variable aléatoire discrète, et \( x_1, x_2, ...x_n \) ses valeurs.

1. Loi de probabilité

Définition : on appelle loi de probabilité de \( X \) le calcul des probabilités de chaque événement donnant une valeur obtenue par \( X \).

Autrement dit, on calcule \( P(X = x) \) pour chaque \( x\in\mathbb{R} \).

Exemple
Un professeur propose un QCM à quatre réponse à ses élèves.
Une seule est bonne, les autres sont fausses.
On gagne \( 1 \) point si on obtient la bonne réponse.
On perd \( 0.5 \) point si on obtient une mauvaise réponse.

Modélisation
Univers : \( \Omega = \left\{{\small\text{Bonne}, \text{Mauvaise}}\right\} \)
Probabilité : fonction \( P : \Omega \rightarrow [0, 1] \) définie par :

\( P({\small\text{Bonne}}) = \dfrac{1}{4} \)

\( P({\small\text{Mauvaise}}) = \dfrac{3}{4} \)

Variable aléatoire : fonction \( X : \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) définie par :

\( X({\small\text{Bonne}}) = +1 \)

\( X({\small\text{Mauvaise}}) = -0.5 \)

Loi de probabilité :

2. Espérance

Définition ! L'espérance de \( X \) est donnée par :

\( \displaystyle E(X) = \sum_{i=0}^{n} x_i \times P(X = x_i) \)

Il s'agit en pratique de la valeur moyenne obtenue en répétant l'expérience aléatoire un très (très (très !!!)) grand nombre de fois.

Exemple : dans la situation précédente,

\( E(X) = (-0.5)\times\dfrac{3}{4} + (+1)\times\dfrac{1}{4} = -0.125 \)

Autrement dit, en répondant vraiment beaucoup au hasard, on peut espérer une note négative.
Moralité : il est préférable de réfléchir avant de répondre !

3. La loi de Bernoulli

Il s'agit d'une situation simple : on perd, ou on gagne !

Définition ! Une variable aléatoire \( X : \Omega\rightarrow \left\{0; 1\right\} \) suit la loi de Bernouilli de paramêtre \( p \in [0; 1] \) si :

Propriété !
Si \( X : \Omega\rightarrow \left\{0; 1\right\} \) suit la loi de Bernouilli de paramêtre \( p \in [0; 1] \), alors :

\( E(X) = p \)

Preuve :

\( E(X) = 0\times (1-p) + 1\times p = p \)

Exemple : on lance un dé, et on gagne si on obtient 6.
Nous sommes en présence d'une loi de Bernouilli.

- \( X = 1 \) correspond à une réussite, avec un probabilité de \( p = \dfrac{1}{6} \).
- \( X = 0 \) correspond à un échec, avec un probabilité de \( 1 - p = \dfrac{5}{6} \).

4. La loi binomiale

Cette loi modélise la probabilité de gagner dans la situation de Bernouilli lorsque l'on joue de nombreuses fois !

Définition !
Une variable aléatoire \( X : \Omega\rightarrow \left\{0; 1\right\} \) suit la loi binomiale de paramêtre \( p \in [0; 1] \) pour \( n \in \mathbb{N} \) tentatives si :

Exemple : revenons à notre dé.
Nous le lançons \( n=10 \) fois. Quelle est la probabilité de gagner \( 3 \) fois ?
Nous sommes en présence d'une loi binomiale, de paramètre \( p = \dfrac{1}{6} \).
Donc :

\( P(X = 3) = \displaystyle\binom{10}{3}\times\left(\frac{1}{6}\right)^3\times\left(\frac{5}{6}\right)^{7} = \displaystyle\binom{10}{3}\times\frac{5^7}{6^{10}} \)

Propriété : \( E(X) = n\times p \)

Preuve : admis.