Les fonctions

Devoir surveillé no3
 | Dimanche 24 Novembre 2024

La calculatrice est autorisée.

1. Un air de déjà-vu (4 points)

Question no1

Question !
Par combien faut-il multiplier pour diminuer de $("#js-1").innerHTML = '\\(' + p + '\\)';%?

Justifier soigneusement votre réponse.

Question no2

Question !
Un pullover coûte de $("#js-10").innerHTML = '\\(' + m + '\\)';€ après une remise de $("#js-11").innerHTML = '\\(' + p + '\\)';%.
Quel était son prix initial ?

Justifier soigneusement votre réponse.

Exercice 1. Étude de parités (8 points)

Considérons les fonctions \( f \), \( g \), \( h \) et \( k \) définies pour tout \( x\in \mathbb{R} \) par :

\( f(x) = (x-1)^2 + 2x \)

\( g(x) = (x-1)^2 - (x+1)^2 \)

\( h(x) = f(x) - g(x) \)

\( k(x) = f(x)\times g(x) \)

+ Démontrer que \( f \) est paire.
+ Démontrer que \( g \) est impaire.
+ La fonction \( h \) a-t-elle une parité ?
+ La fonction \( k \) a-t-elle une parité ?

Exercice 2. Étude de variations (8 points)

Considérons les fonctions \( f \), \( g \), \( h \) et \( k \) définies pour tout \( x\in [0, +\infty[ \) par :

\( f(x) = (x-1)^2 + 2x \)

\( g(x) = (x-1)^2 - (x+1)^2 \)

\( h(x) = f(x) - g(x) \)

\( k(x) = f(x)\times g(x) \)

+ Démontrer que \( f \) est croissante.
+ Démontrer que \( g \) est décroissante.
+ Que dire des variations de \( h \) ?
+ Tracer la courbe représentative de \( k \), en déduire son tableau de variation.

\begin{array}{|c|ccccccc|} 
  \hline 
  x     & 0 &           & 0.6 &           & +\infty \\\hline 
        &   &           & 1.6 &           &         \\ 
  f     &   &  \nearrow &      & \searrow &         \\ 
        & 0 &           &      &          & -\infty \\\hline 
\end{array}Attention ! 
Les valeurs proposées sont très approximatives. 
Déterminer les valeurs exactes, c'est un tout autre problème.

■

Aide

Question n°1

$("#js-3").innerHTML = '\\(' + ((100 + p)/100) + '\\)';

$("#js-4").innerHTML = '\\(' + (p/100) + '\\)';

$("#js-2").innerHTML = '\\(' + ((100 - p)/100) + '\\)';

$("#js-5").innerHTML = '\\(' + ((200 - p)/100) + '\\)';

Question n°2

$("#js-12").innerHTML = '\\(' + n + '\\)';€

$("#js-13").innerHTML = '\\(' + (n * (100 + p)/100) + '\\)';€

$("#js-15").innerHTML = '\\(' + (n - p) + '\\)';€

$("#js-14").innerHTML = '\\(' + (n + p) + '\\)';€

■
Solution

Notons par \( x \) la quantité considérée.
Sa diminution est de $("#js-6").innerHTML = '\\(' + 'x\\times ' + p + '\\div 100\\)';, c'est à dire $("#js-7").innerHTML = '\\(' + (p/100) + 'x\\)';
On obtient donc comme nouvelle quantité :

$("#js-8").innerHTML = '\\(' + 'x - ' + (p/100) + 'x = ' + ((100 - p)/100) + 'x\\)';

Conclusion !
Il faut multiplier par $("#js-9").innerHTML = '\\(' + ((100 - p)/100) + '\\)';.

Notons par \( x \) le prix initial du pullover.
La remise étant de $("#js-16").innerHTML = '\\(' + p + '\\)';%, nous obtenons l'équation :

$("#js-17").innerHTML = '\\(' + 'x - \\dfrac{' + p + '}{100}\\times x = ' + m + '\\)';

En voici la résolution :

$("#js-18").innerHTML = '\\(' + 'x - ' + (p/100) + ' x \\)';\( = \) $("#js-19").innerHTML = '\\(' + m + '\\)';
$("#js-20").innerHTML = '\\(' + ((100-p)/100) + ' x\\)';\( = \) $("#js-21").innerHTML = '\\(' + m + '\\)';
\( x \)\( = \) $("#js-22").innerHTML = '\\(' + m + '\\div' + ((100-p)/100) + '\\)';
\( x \)\( = \) $("#js-23").innerHTML = '\\(' + n + '\\)';

Conclusion !
Le prix initial du pullover était $("#js-24").innerHTML = '\\(' + n + '\\,\\)';€.

 

L'ensemble de définition \( \mathbb{R} \) étant symétrique par rapport à 0, nous pouvons nous interesser à la parité.

Question no1
Développons :

\( f(x) = (x-1)^2 + 2x = x^2 - 2x + 1 - 2x = x^2 - 1 \)

Ainsi \( f(-x) = (-x)^2-1 = x^2 - 1 = f(x) \). Donc \( f \) est paire.

Question no2
Développons :

\( g(x) = (x-1)^2 - (x+1)^2 = x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 = - 4x \)

Ainsi \( g(-x) = -4\times(-x) = -(-4\times x) = -g(x) \). Donc \( g \) est impaire.

Question no3

\( h(-x) = f(-x) - g(-x) = f(x) - (-g(x)) = f(x) + g(x) \)

Nous pouvons écrire que :

\( h(-x) + h(x) = f(x) + g(x) + f(x) - g(x) = 2f(x) \neq 0 \)

Donc \( h \) n'est pas impaire.

De même :

\( h(-x) - h(x) = f(x) + g(x) - f(x) + g(x) = 2g(x) \neq 0 \)

Donc \( h \) n'est pas paire.

Question no4

\( k(-x) = f(-x) \times g(-x) = f(x) \times (-g(x)) = - f(x) \times g(x) \)

Ainsi \( k(-x) = - k(x) \). Donc \( k \) est impaire.

 

Dans toute la suite de l'exercice, on considère deux nombres \( a\in[0, +\infty[ \) et \( b\in[0, +\infty[ \) tels que \( a \leq b \), c'est à dire \( b - a \geq 0 \).

On notera aussi que l'on peut développer et réduire \( f \) et \( g \) sous la forme :

\( f(x) \)\( = \)\( (x-1)^2 + 2x \)
 \( = \)\( x^2 - 2x + 1 + 2x \)
 \( = \)\( x^2 - 1 \)
\( g(x) \)\( = \)\( (x-1)^2 - (x+1)^2 \)
 \( = \)\( x^2 - 2x + 1 - x^2 - 2x - 1 \)
 \( = \)\( - 4x \)

Question no1
Étudions le signe de \( f(b) - f(a) \) :

\( f(b) - f(a) \)\( = \)\( (b^2 - 1) - (a^2 - 1) \)
 \( = \)\( b^2 - 1 - a^2 + 1 \)
 \( = \)\( b^2 - a^2 \)
 \( = \)\( (b+a)\times(b-a) \)

Appliquons la règle des signes :

- \( b \) et \( a \) étant positifs, \( (b + a) \) est positif.
- \( (b - a) \) est positif par hypothèse.

Donc \( f(b) - f(a) \geq 0 \), c'est à dire que \( f \) est croissante.

Question no2
Étudions le signe de \( g(b) - g(a) \) :

\( g(b) - g(a) \)\( = \)\( (-4b) - (-4a) \)
 \( = \)\( -4b\times(b- a) \)

Appliquons la règle des signes :

- \( -4 \) est négatif.
- \( (b - a) \) est positif par hypothèse.

Donc \( g(b) - g(a) \leq 0 \), c'est à dire que \( g \) est décroissante.

 

Question no3
Étudions le signe de \( h(b) - h(a) \) :

\( h(b) - h(a) \)\( = \)\( \Bigl(f(b) - g(b)\Bigr) - \Bigl(f(a) - g(a)\Bigr) \)
 \( = \)\( f(b) - g(b) - f(a) + g(a) \)
 \( = \)\( \Bigl(f(b) - f(a)\Bigr) + \Bigl(g(a) - g(b)\Bigr) \)

Appliquons la règle des signes :

- \( \Bigl(f(b) - f(a)\Bigr) \) est positif car \( f \) est croissante.
- \( \Bigl(g(a) - g(b)\Bigr) \) est positif car \( g \) est décroissante.

Donc \( h(b) - h(a) \geq 0 \), c'est à dire que \( h \) est croissante.

Question no4
Traçons la fonction à la calculatrice !