Systèmes d'équations et équations de droites

La calculatrice est autorisée. Sujet n^o = paramA +'.' + paramB .

Un air de déjà-vu (4 points)

Automatisme n^o1

Questions !
Dans un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $, on considère les points $("#js-2").innerHTML = '\$' + 'A(' + xA + '; ' + yA + ')\$'; et $("#js-3").innerHTML = '\$' + 'B(' + xB + '; ' + yB + ')\$';.
Quelles sont les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Automatisme n^o2

Question !
Dans un repère $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $, on considère les points $("#js-9").innerHTML = '\$' + 'A(' + xA + '; ' + yA + ')\$'; et $("#js-10").innerHTML = '\$' + 'B(' + xB + '; ' + yB + ')\$';.
Quelle est l'équation réduite de la droite $ (AB) $ ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Exercice (8 points)

Dans un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j}) $, on considère les points $("#js-29").innerHTML = '\$' + 'A(' + xA + '; ' + yA + ')\$';, $("#js-30").innerHTML = '\$' + 'B(' + xB + '; ' + yB + ')\$'; et $("#js-31").innerHTML = '\$' + 'C(' + xC + '; ' + yC + ')\$';

1. Déterminer l'équation de la droite $ (AB) $.

2. Déterminer l'équation de la droite $ (d_1) $, parallèle à $ (AB) $ passant par $ C $.

3. Déterminer l'équation de la droite $ (d_2) $, perpendiculaire à $ (AB) $ passant par $ B $.

4. Déterminer les coordonnées du point $ Z $, intersection de $ (d_1) $ et $ (d_2) $.

Problème (8 points)

Considérons un rectangle $ MNPQ $ tel que $("#js-51").innerHTML = '\$' + 'MN = ' + (2*paramA) + '\$'; et $("#js-52").innerHTML = '\$' + 'MQ = ' + (2*paramB) + '\$';. Notons :

$ A $, le milieu de $ [MN] $.
$ B $, le milieu de $ [MQ] $.
$ Z $ l'intersection de $ (BN) $ et $ (QA) $.

Montrer que $ M $, $ Z $ et $ P $ sont alignés.

■

Aide

Question n°1

$("#js-4").innerHTML = '\$' + '\\overrightarrow{AB} \\begin{pmatrix}' + xu + '\\\\' + yu + '\\end{pmatrix}\$';

$("#js-7").innerHTML = '\$' + '\\overrightarrow{AB} \\begin{pmatrix}' + rand(2, 5) + '\\\\' + rand(6, 9) + '\\end{pmatrix}\$';

$("#js-5").innerHTML = '\$' + '\\overrightarrow{AB} \\begin{pmatrix}' + rand(6, 9) + '\\\\' + rand(6, 9) + '\\end{pmatrix}\$';

$("#js-6").innerHTML = '\$' + '\\overrightarrow{AB} \\begin{pmatrix}' + rand(2, 5) + '\\\\' + rand(2, 5) + '\\end{pmatrix}\$';

Question n°2

$("#js-12").innerHTML = '\$' + '(AB) : y = ' + rand(2, 5) + 'x + ' + rand(2, 5) + '\$';

$("#js-14").innerHTML = '\$' + '(AB) : y = ' + (a+op) + 'x + ' + (b+op) + '\$';

$("#js-11").innerHTML = '\$' + '(AB) : y = ' + a + 'x + ' + b + '\$';

$("#js-13").innerHTML = '\$' + '(AB) : y = ' + rand(6, 9) + 'x + ' + rand(6, 9) + '\$';

■

Solution

Un air de déjà-vu (4 points)

Automatisme n^o1

Les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB} $ sont :

$("#js-8").innerHTML = '\$' + '\\overrightarrow{AB} \\begin{pmatrix}x_B - x_A\\\\y_B-y_A\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}' + xB + ' - ' + xA + '\\\\' + yB + ' - ' + yA + '\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}' + xu + '\\\\' + yu + '\\end{pmatrix}\$';

Automatisme n^o2

Nous cherchons le coefficient directeur, noté $ a $, de la droite $ (AB) $ :

$("#js-15").innerHTML = '\$' + 'a = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\dfrac{' + yB + ' - ' + yA + '}{' + xB + ' - ' + xA + '} = ' + a + '\$';

Puis nous cherchons son ordonnée à l'origine, noté $ b $, en utilisant soit le point $ A $, soit le point $ B $ :

$ y_A $	$ = a \times x_A + b $
$("#js-16").innerHTML = '\$' + yA + '\$';	$("#js-17").innerHTML = '\$' + '=' + a + '\\times '+ xA + ' + b\$';
$("#js-18").innerHTML = '\$' + yA + '\$';	$("#js-19").innerHTML = '\$' + '=' + (a * xA) + ' + b\$';
$ b $	$("#js-20").innerHTML = '\$' + '=' + yA + ' - ' + (a * xA) + '\$';
$ b $	$("#js-21").innerHTML = '\$' + '=' + b + '\$';

$ y_B $	$ = a \times x_B + b $
$("#js-22").innerHTML = '\$' + yB + '\$';	$("#js-23").innerHTML = '\$' + '=' + a + '\\times '+ xB + ' + b\$';
$("#js-24").innerHTML = '\$' + yB + '\$';	$("#js-25").innerHTML = '\$' + '=' + (a * xB) + ' + b\$';
$ b $	$("#js-26").innerHTML = '\$' + '=' + yB + ' - ' + (a * xB) + '\$';
$ b $	$("#js-27").innerHTML = '\$' + '=' + b + '\$';

Conclusion !
L'équation réduite de la droite est $("#js-28").innerHTML = '\$' + '(AB) : y = ' + a + 'x + ' + b + '\$';.

Exercice (8 points)

1. Déterminer l'équation de la droite $ (AB) $.

$("#js-32").innerHTML = '\$' + 'a = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\dfrac{' + yB + ' - ' + yA + '}{' + xB + ' - ' + xA + '} = \\dfrac{2}{' + paramB + '}\$';

$("#js-33").innerHTML = '\$' + 'b = y_A - a\\times x_A = ' + yA + ' - \\dfrac{2}{' + paramB + '}\\times ' + xA + ' = \\dfrac{' + (paramB*yA - 2*xA) +'}{' + paramB + '}\$';

Ainsi $("#js-34").innerHTML = '\$' + 'y = \\dfrac{2}{' + paramB + '} x + \\dfrac{' + (paramB*yA - 2*xA) +'}{' + paramB + '}\$';

2. Déterminer l'équation de la droite $ (d_1) $, parallèle à $ (AB) $ passant par $ C $.

$("#js-35").innerHTML = '\$' + 'a = \\dfrac{2}{' + paramB + '}\$'; car deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

$("#js-36").innerHTML = '\$' + 'b = y_C - a\\times x_C = ' + yC + ' - \\dfrac{2}{' + paramB + '}\\times ' + xC + ' = \\dfrac{' + (paramB*yC - 2*xC) +'}{' + paramB + '}\$';

Ainsi $("#js-37").innerHTML = '\$' + 'y = \\dfrac{2}{' + paramB + '} x + \\dfrac{' + (paramB*yC - 2*xC) +'}{' + paramB + '}\$';

3. Déterminer l'équation de la droite $ (d_2) $, perpendiculaire à $ (AB) $ passant par $ B $.

Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficient directeur est $ -1 $. Or,

$("#js-38").innerHTML = '\$' + '\\dfrac{2}{' + paramB + '}\\times a = -1\$';

$("#js-39").innerHTML = '\$' + 'a = \\dfrac{-' + paramB + '}{2}\$';

$("#js-40").innerHTML = '\$' + 'b = y_B - a\\times x_B = ' + yB + ' - \\dfrac{-' + paramB + '}{2}\\times ' + xB + ' = \\dfrac{' + (2*yB + paramB *xB) +'}{2}\$';

Ainsi $("#js-41").innerHTML = '\$' + 'y = -\\dfrac{' + paramB + '}{2} x + \\dfrac{' + (2*yB + paramB *xB) +'}{2}\$';

4. Déterminer les coordonnées du point $ Z $, intersection de $ (d_1) $ et $ (d_2) $.

Nous devons résoudre le système :

$("#js-42").innerHTML = '\$' + '\\left\\{' + ' \\begin{array}{rcl}' + ' y & = & \\dfrac{2}{' + paramB + '} x + \\dfrac{' + (paramB*yC - 2*xC) +'}{' + paramB + '} \\\\' + ' y & = & -\\dfrac{' + paramB + '}{2} x + \\dfrac{' + (2*yB + paramB *xB) +'}{2}' + ' \\end{array}' + '\\right.' + '\$';

$("#js-43").innerHTML = '\$' + '\\dfrac{2}{' + paramB + '} x + \\dfrac{' + (paramB*yC - 2*xC) +'}{' + paramB + '} = -\\dfrac{' + paramB + '}{2} x + \\dfrac{' + (2*yB + paramB *xB) +'}{2}\$';

$("#js-44").innerHTML = '\$' + '\\dfrac{2}{' + paramB + '} x +\\dfrac{' + paramB + '}{2} x = \\dfrac{' + (2*yB + paramB *xB) +'}{2} - \\dfrac{' + (paramB*yC - 2*xC) +'}{' + paramB + '}\$';

$("#js-45").innerHTML = '\$' + '\\dfrac{4 + ' + paramB*paramB + '}{' + 2*paramB +'} x = \\dfrac{' + paramB*(2*yB + paramB *xB) +' - ' + 2*(paramB*yC - 2*xC) +'}{' + 2*paramB + '}\$';

$("#js-46").innerHTML = '\$' + '\\dfrac{' + (4 + paramB*paramB) + '}{' + 2*paramB +'} x = \\dfrac{' + (paramB*(2*yB + paramB *xB) - 2*(paramB*yC - 2*xC)) +'}{' + 2*paramB + '}\$';

$("#js-47").innerHTML = '\$' + 'x = \\dfrac{' + (paramB*(2*yB + paramB *xB) - 2*(paramB*yC - 2*xC)) +'}{' + 2*paramB + '}\\times\\dfrac{' + 2*paramB +'}{' + (4 + paramB*paramB) + '} = \\dfrac{' + (paramB*(2*yB + paramB *xB) - 2*(paramB*yC - 2*xC)) +'}{' + (4 + paramB*paramB) + '} = ' + (paramA + paramB - 2) + '\$';

$("#js-48").innerHTML = '\$' + '\\left\\{' + ' \\begin{array}{rcl}' + ' y & = & \\dfrac{2}{' + paramB + '}\\times ' + (paramA + paramB - 2) + ' + \\dfrac{' + (paramB*yC - 2*xC) +'}{' + paramB + '} \\\\' + ' y & = & -\\dfrac{' + paramB + '}{2}\\times ' + (paramA + paramB - 2) + ' + \\dfrac{' + (2*yB + paramB *xB) +'}{2}' + ' \\end{array}' + '\\right.' + '\$';

$("#js-49").innerHTML = '\$' + '\\left\\{' + ' \\begin{array}{rcl}' + ' y & = & \\dfrac{' + (2*(paramA + paramB - 2) + (paramB*yC - 2*xC)) +'}{' + paramB + '} = ' + (paramB + 3) + '\\\\' + ' y & = & \\dfrac{' + (0-paramB*(paramA + paramB - 2) + 2*yB + paramB *xB) +'}{2}' + ' = ' + (paramB + 3) + '\\end{array}' + '\\right.' + '\$';

Conclusion : les coordonnées de $ Z $ sont $("#js-50").innerHTML = '\$' + '(' + (paramA + paramB - 2) + ';' + (paramB + 3) + ')\$';

Problème (8 points)

Plaçons nous dans le repère $ (M; I; J) $ où $ I\in[MN] $, $ J\in[MQ] $ et $ MI = MJ = 1 $.

Etape 1 - coordonnées des points.

Les coordonnées des points sont $("#js-53").innerHTML = '\$' + 'M(0; 0)\$';, $("#js-54").innerHTML = '\$' + 'N(' + 2*paramA + '; 0)\$';, $("#js-55").innerHTML = '\$' + 'A(' + paramA + '; 0)\$';, $("#js-56").innerHTML = '\$' + 'P(' + 2*paramA + ';' + 2*paramB + ')\$';, $("#js-57").innerHTML = '\$' + 'Q(0;' + 2*paramB + ')\$'; et $("#js-58").innerHTML = '\$' + 'B(0;' + paramB + ')\$';.

Etape 2 - équations de droites

Equation de la droite $ (MP) $ :

$("#js-59").innerHTML = '\$' + 'a = \\dfrac{' + 2*paramB + '- 0}{' + 2*paramA + ' - 0} = \\dfrac{' + paramB + '}{' + paramA + '}\$';

$ b=0 $ car la droite passe par $ M $.

Donc $("#js-60").innerHTML = '\$' + 'y = \\dfrac{' + paramB + '}{' + paramA + '} x\$';.

Equation de la droite $ (BN) $ :

$("#js-61").innerHTML = '\$' + 'a = \\dfrac{' + paramB + '- 0}{0 - ' + 2*paramA + '} = - \\dfrac{' + paramB + '}{' + 2*paramA + '}\$';

$("#js-62").innerHTML = '\$' + 'b = ' + paramB + '\$'; - la droite passe par $ B $.

Donc $("#js-63").innerHTML = '\$' + 'y = - \\dfrac{' + paramB + '}{' + 2*paramA + '} x + ' + paramB + '\$';.

Equation de la droite $ (QA) $ :

$("#js-64").innerHTML = '\$' + 'a = \\dfrac{' + 2*paramB + '- 0}{0 - ' + paramA + '} = - \\dfrac{' + 2*paramB + '}{' + paramA + '}\$';

$("#js-65").innerHTML = '\$' + 'b = ' + 2*paramB + '\$'; - la droite passe par $ Q $.

Donc $("#js-66").innerHTML = '\$' + 'y = - \\dfrac{' + 2*paramB + '}{' + paramA + '} x + ' + 2*paramB + '\$';.

Etape 3 - coordonnées de $ Z $ :

$("#js-67").innerHTML = '\$' + '\\left\\{' + ' \\begin{array}{rcl}' + ' y & = & - \\dfrac{' + paramB + '}{' + 2*paramA + '} x + ' + paramB + ' \\\\' + ' y & = & - \\dfrac{' + 2*paramB + '}{' + paramA + '} x + ' + 2*paramB + ' \\end{array}' + '\\right.' + '\$';

Donc :

$("#js-68").innerHTML = '\$' + '- \\dfrac{' + paramB + '}{' + 2*paramA + '} x + ' + paramB + ' = - \\dfrac{' + 2*paramB + '}{' + paramA + '} x + ' + 2*paramB + '\$';

$("#js-69").innerHTML = '\$' + '- \\dfrac{' + paramB + '}{' + 2*paramA + '} x + \\dfrac{' + 2*paramB + '}{' + paramA + '} x = ' + 2*paramB + ' - ' + paramB + '\$';

$("#js-70").innerHTML = '\$' + '\\dfrac{-' + paramB + ' + ' + 4*paramB + '}{' + 2*paramA + '} x = ' + paramB + '\$';

$("#js-71").innerHTML = '\$' + '\\dfrac{' + 3*paramB + '}{' + 2*paramA + '} x = ' + paramB + '\$';

$("#js-72").innerHTML = '\$' + '\\dfrac{' + 3*paramB + '}{' + 2*paramA + '} x = ' + paramB + '\$';

$("#js-73").innerHTML = '\$' + 'x = \\dfrac{' + 2*paramA + '}{' + 3*paramB + '}\\times ' + paramB + ' = \\dfrac{' + (2*paramA) + '}{3}\$';

Ainsi :

$("#js-74").innerHTML = '\$' + 'y = - \\dfrac{' + paramB + '}{' + 2*paramA + '}\\times \\dfrac{' + 2*paramA + '}{3} + ' + paramB + ' = - \\dfrac{' + paramB + '}{3} + ' + paramB + ' = \\dfrac{' + 2*paramB + '}{3}\$';

Finalement $ Z $ a pour coordonnées $("#js-75").innerHTML = '\$' + 'Z\\Big(\\dfrac{' + (2*paramA) + '}{3}; \\dfrac{' + 2*paramB + '}{3}\\Big)\$';.

Etape 4 - vérifions que $ Z\in(MP) $ :

$("#js-76").innerHTML = '\$' + '\\dfrac{' + paramB + '}{' + paramA + '}x_Z = \\dfrac{' + paramB + '}{' + paramA + '} \\times \\dfrac{' + (2*paramA) + '}{3} = \\dfrac{' + (2*paramB) + '}{3} = y_Z\$';.

\( y_A \)	\( = a \times x_A + b \)
$("#js-16").innerHTML = '\\(' + yA + '\\)';	$("#js-17").innerHTML = '\\(' + '=' + a + '\\times '+ xA + ' + b\\)';
$("#js-18").innerHTML = '\\(' + yA + '\\)';	$("#js-19").innerHTML = '\\(' + '=' + (a * xA) + ' + b\\)';
\( b \)	$("#js-20").innerHTML = '\\(' + '=' + yA + ' - ' + (a * xA) + '\\)';
\( b \)	$("#js-21").innerHTML = '\\(' + '=' + b + '\\)';

\( y_B \)	\( = a \times x_B + b \)
$("#js-22").innerHTML = '\\(' + yB + '\\)';	$("#js-23").innerHTML = '\\(' + '=' + a + '\\times '+ xB + ' + b\\)';
$("#js-24").innerHTML = '\\(' + yB + '\\)';	$("#js-25").innerHTML = '\\(' + '=' + (a * xB) + ' + b\\)';
\( b \)	$("#js-26").innerHTML = '\\(' + '=' + yB + ' - ' + (a * xB) + '\\)';
\( b \)	$("#js-27").innerHTML = '\\(' + '=' + b + '\\)';

Systèmes d'équations et équations de droites

Un air de déjà-vu (4 points)

Automatisme no1

Automatisme no2

Exercice (8 points)

Problème (8 points)

Un air de déjà-vu (4 points)

Automatisme no1

Automatisme no2

Exercice (8 points)

Problème (8 points)

Automatisme n^o1

Automatisme n^o2

Automatisme n^o1

Automatisme n^o2