Techniques de résolutions d'équations

Devoir surveillé no1
 | Dimanche 21 Septembre 2025

La calculatrice est autorisée. Sujet no = uA +'.' + uB.

1. Un air de déjà-vu (4 points)

Automatisme no1

Question - Factoriser :
\( A = (x + \) $("#js-2").innerHTML = '\\(' + a + ')(' + b + ' - 2x) + ' + c + 'x (x + ' + a + ')\\)';.

Justifier soigneusement votre réponse.

Automatisme no2

Question !
Factoriser $("#js-10").innerHTML = '\\(' + 'A = ' + (b*b) + ' - ' + (a*a) + 'x^2\\)';.

Justifier soigneusement votre réponse.

2. Exercice (4 points)

Résoudre les équations suivantes :

$("#js-18").innerHTML = '\\(' + 'E_1 : (' + a + 'x + ' + (a+1) + ')(' + (a+2) + 'x - ' + (a+3) + ') = 0\\)';

\( E_2 : 81x^2 - 121 = 0 \)

3. Problème (8 points)

Considérons la fonction \( f \) définie pour tout \( x\in {\mathbb R} \) par

$("#js-19").innerHTML = '\\(' + 'f(x) = (' + a + 'x + ' + b + ')^2 - ' + (3* a) + 'x - ' + (3*b) + '\\)';

1. Développer et réduire \( f \).

2. Calculer \( f \) pour \( x = \sqrt{10} \).

3. Résoudre l'équation $("#js-21").innerHTML = '\\(' + 'f(x) = ' + (b*b - 3*b) + '\\)';.

4. Factoriser \( f \) et résoudre l'équation \( f(x) = 0 \).

 

4. Casse-tête (4 points)

Deux nombres entiers naturels consécutifs ont des carrés dont la différence est $("#js-22").innerHTML = '\\(' + (b*2 +1) + '\\)';. Quels sont ces nombres ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

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Aide

Question n°1

$("#js-3").innerHTML = '\\(' + 'A = (x + ' + a + ')(' + b + ' + ' + (c - 2) + 'x)\\)';

$("#js-5").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' - 2x)(' + a + ' + ' + (c+1) + 'x)\\)';

$("#js-6").innerHTML = '\\(' + 'A = (x + ' + a + ')(' + (b*c) + ' - ' + (c * 2) + 'x^2)\\)';

$("#js-4").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' - 2x)(x + ' + a + ' + ' + c + 'x)\\)';

Question n°2

$("#js-14").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' - ' + a + 'x)^2\\)';.

$("#js-12").innerHTML = '\\(' + 'A = ' + (b*b - a*a) + 'x^2\\)';.

$("#js-13").innerHTML = '\\(' + 'A = ' + (b - a) + 'x\\)';.

$("#js-11").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' + ' + a + 'x)(' + b + ' - ' + a + 'x)\\)';.

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Solution

1. Un air de déjà-vu (4 points)

Automatisme no1

Rappelons la règle de distributivité : pour tous nombres \( k \), \( a \) et \( b \),

\( k\times (a + b) = k\times a + k\times b \)

Nous reconnaissons un facteur commun, coloré en rouge, et regroupons en conséquence :

\( A \)  $("#js-7").innerHTML = '\\(' + '= {\\color{red}(x + ' + a + ')}(' + b + ' - 2x) + ' + c + 'x {\\color{red}(x + ' + a + ')}\\)';
  $("#js-8").innerHTML = '\\(' + '= {\\color{red}(x + ' + a + ')}(' + b + ' - 2x + ' + c + 'x)\\)';
  $("#js-9").innerHTML = '\\(' + '= (x + ' + a + ')(' + b + ' + ' + (c - 2) + 'x)\\)';

Automatisme no2

Nous reconnaissons la troisième identité remarquable : en effet, pour tous nombres \( a \) et \( b \),

\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)

Ainsi, nous obtenons :

\( A \) $("#js-15").innerHTML = '\\(' + ' = ' + (b*b) + ' - ' + (a*a) + 'x^2\\)';
  $("#js-16").innerHTML = '\\(' + ' = ' + b + '^2 - (' + a + 'x)^2\\)';
  $("#js-17").innerHTML = '\\(' + ' = (' + b + ' + ' + a + 'x)(' + b + ' - ' + a + 'x)\\)';

2. Exercice (4 points)

1. Développer et réduire \( f \).

2. Calculer \( f \) pour \( x = \sqrt{10} \).

3. Résoudre l'équation $("#js-20").innerHTML = '\\(' + 'f(x) = ' + (b*b - 3*b) + '\\)';.

4. Factoriser \( f \) et résoudre l'équation \( f(x) = 0 \).