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La calculatrice est autorisée. Sujet no = paramA +'.' + paramB .
Un air de déjà-vu (4 points)
Automatisme no1
Question !
On considère la fonction \( f \) définie pour tout réel \( x \) par :
$("#js-2").innerHTML = '\\(' + 'f(x) = ' + op * a + 'x^3 + ' + b + 'x^2 - ' + c +'x + ' + d + '\\)';
Quelle est sa fonction dérivée ?
La réponse doit être soigneusement justifiée.
Automatisme no2
Question !
Factoriser
$("#js-11").innerHTML = '\\(' + 'A = ' + (b*b) + ' - ' + (a*a) + 'x^2\\)';.
La réponse doit être soigneusement justifiée.
Exercice (8 points)
On considère la fonction définie sur \( {\mathbb R}^* \) par :
$("#js-19").innerHTML = '\\(' + 'f(x) = ' + (a*a) + 'x + \\dfrac{' + (b*b) + '}{x}\\)';
1. Déterminer la dérivée \( f' \) de \( f \).
2. Étudier le signe de \( f’ \).
3. En déduire les variations de \( f \).
4. Donner une représentation graphique de \( f \).
Problème (8 points)
Sur son terrain, Guethenoc veut délimiter un champ rectangulaire de
$("#js-25").innerHTML = '\\(' + (a*a) + 'm^2\\)';.
Pour éviter de trop dépenser, il souhaite que la clôture de ce champ soit la plus petite possible.
Quelles dimensions peut-on lui conseiller ?
La réponse doit être soigneusement justifiée.
Aide - On rappelle que la surface d'un rectangle est donnée par le produit de sa longueur et de sa largeur.
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Aide
Question n°1
$("#js-3").innerHTML = '\\(' + 'f\'(x) = ' + 3*op *a + 'x^2 + ' + 2*b + 'x - ' + c + '\\)';
$("#js-6").innerHTML = '\\(' + 'f\'(x) = ' + op *a + 'x^2 - ' + c + '\\)';
$("#js-4").innerHTML = '\\(' + 'f\'(x) = ' + op *a + 'x^2 + ' + b + 'x - ' + c + '\\)';
$("#js-5").innerHTML = '\\(' + 'f\'(x) = ' + 3*op *a + 'x^2 + ' + b + 'x\\)';
Question n°2
$("#js-15").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' - ' + a + 'x)^2\\)';.
$("#js-14").innerHTML = '\\(' + 'A = ' + (b - a) + 'x\\)';.
$("#js-12").innerHTML = '\\(' + 'A = (' + b + ' + ' + a + 'x)(' + b + ' - ' + a + 'x)\\)';.
$("#js-13").innerHTML = '\\(' + 'A = ' + (b*b - a*a) + 'x^2\\)';.
Un air de déjà-vu (4 points)
Automatisme no1
Rappelons que pour tout entier naturel \( n>0 \), la fonction dérivée de \( x^n \) est \( nx^{n-1} \).
Rappelons aussi que la dérivation est une opération linéaire.
Ainsi, nous obtenons que :
$("#js-7").innerHTML = '\\(' + 'f(x) = ' + op * a + '\\times{\\color{red}x^3} + ' + b + '\\times{\\color{blue}x^2} - ' + c + '\\times{\\color{green}x} + {\\color{purple}' + d + '}\\)';
$("#js-8").innerHTML = '\\(' + 'f\'(x) = ' + op *a + '\\times{\\color{red}3 x^{3 - 1}} + ' + b + '\\times{\\color{blue}2x^{2 - 1}}\\)'; $("#js-9").innerHTML = '\\(' + '-' + c + '\\times{\\color{green}x^{1-1}}+ {\\color{purple} 0}\\)';
$("#js-10").innerHTML = '\\(' + 'f\'(x) = ' + 3*op *a + 'x^2 + ' + 2*b + 'x - ' + c + '\\)';
Automatisme no2
Nous reconnaissons la troisième identité remarquable : en effet, pour tous nombres \( a \) et \( b \),
\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)
Ainsi, nous obtenons :
| \( A \) | $("#js-16").innerHTML = '\\(' + ' = ' + (b*b) + ' - ' + (a*a) + 'x^2\\)'; |
| $("#js-17").innerHTML = '\\(' + ' = ' + b + '^2 - (' + a + 'x)^2\\)'; | |
| $("#js-18").innerHTML = '\\(' + ' = (' + b + ' + ' + a + 'x)(' + b + ' - ' + a + 'x)\\)'; |
Exercice (8 points)
1. Déterminer la dérivée \( f' \) de \( f \).
$("#js-20").innerHTML = '\\(' + 'f’ (x) = ' + (a*a) + ' - \\dfrac{' + (b*b) + '}{x^2} = \\dfrac{(' + a + 'x + ' + b + ')(' + a + 'x - ' + b + ')}{x^2}\\)';
2. Étudier le signe de \( f’ \).
$("#js-21").innerHTML = '\\(' + '\\begin{array}{|c|ccccccccr|}' + ' \\hline' + ' x & -\\infty & & -\\frac{' + b + '}{' + a + '} & & 0 & & \\frac{' + b + '}{' + a + '} & & +\\infty \\\\' + ' \\hline' + ' ' + a + 'x + ' + b + '& & - & 0 & + \\\\' + ' \\hline' + ' ' + a + 'x - ' + b + ' & &&&&& - & 0 & + \\\\' + ' \\hline' + ' x^2 &&&&+ & 0 & +\\\\' + ' \\hline' + ' f’(x) & & + & 0 & - & || & - & 0 & +\\\\' + ' \\hline' + ' \\end{array}' + '\\)';
3. En déduire les variations de \( f \).
$("#js-22").innerHTML = '\\(' + '\\begin{array}{|c|ccccr|}' + ' \\hline' + ' x & -\\infty & & -\\frac{' + b + '}{' + a + '} & & & 0 & & & \\frac{' + b + '}{' + a + '} & & +\\infty\\\\\\hline' + ' f’(x) & & + & 0 & - & & || & & - & 0 & + \\\\\\hline' + ' & & & -' + (2*a*b) + ' & & & || & +\\infty & & & & +\\infty \\\\' + ' f & & \\nearrow & & \\searrow & & || & & \\searrow & & \\nearrow & \\\\' + ' & -\\infty & & & & -\\infty & || & & & ' + (2*a*b) + ' & & \\\\\\hline' + '\\end{array}' + '\\)';
en notant que :
$("#js-23").innerHTML = '\\(' + 'f(\\frac{' + b + '}{' + a + '}) = ' + (a*a) + '\\times\\frac{' + b + '}{' + a + '} + \\dfrac{' + (b*b) + '}{\\frac{' + b + '}{' + a + '}} = ' + (2*a*b) + '\\)';
$("#js-24").innerHTML = '\\(' + 'f(-\\frac{' + b + '}{' + a + '}) = ' + (a*a) + '\\times\\frac{-' + b + '}{' + a + '} + \\dfrac{' + (b*b) + '}{\\frac{-' + b + '}{' + a + '}} = -' + (2*a*b) + '\\)';
4. Donner une représentation graphique de \( f \).
À faire à la calculatrice !
Problème (8 points)
Ce problème a déjà été traité en classe ! Rappelons la méthode…
étape no1 - modélisation : notons \( x \) la longueur du champ et \( y \) sa largeur.
Alors, le calcul de la surface donne $("#js-26").innerHTML = '\\(' + 'x\\times y = ' + (a*a) + '\\)';.
Notons \( f \), le périmètre du rectangle : $("#js-27").innerHTML = '\\(' + 'f(x) = 2x + 2y = 2x + 2\\dfrac{' + (a*a) + '}{x}\\)';.
étape 2 - on étudie la fonction : dérivons \( f \) : $("#js-28").innerHTML = '\\(' + 'f’(x) = 2 - 2\\times\\dfrac{' + (a*a) + '}{x^2} = 2\\times\\dfrac{x^2 - ' + (a*a) + '}{x^2} = 2\\times\\dfrac{(x - ' + a + ')(x + ' + a + ')}{x^2}\\)';.
On dresse le tableau de signe de \( f’(x) \), puis le tableau de variations de \( f \) et on détermine la valeur de son minimum.
étape 3 - conclusion : nous avons trouvé le périmètre minimal.. le champ a alors une forme très particulière !