Les logarithmes

La calculatrice est autorisée. Sujet n^o $("#js-1").innerHTML = '\$' + sujetId + '\$';.

Les automatismes (4 points)

Question n^o1

Question !
La valeur d’un appartement baisse successivement de $("#js-2").innerHTML = '\$' + a + '\$';% puis de $("#js-3").innerHTML = '\$' + b + '\$';%,
puis augmente de $("#js-4").innerHTML = '\$' + c + '\$';%. Quelle est l’évolution globale ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Question n^o2

Question
Développer et réduire $ A = ( $ $("#js-22").innerHTML = '\$' + b + op + a + 'x)^2\$';.

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Exercice (10 points)

Voici un relevé des milliers de vues d'une vidéo très courte sur un réseau social, au fil du temps (en minutes).

Temps, en min (X)	3	4	5	10	12
Vues, en milliers (Y)	$("#js-31").innerHTML = '\$' + (0+ sujetId) + '\$';	$("#js-32").innerHTML = '\$' + (0.3+ sujetId) + '\$';	$("#js-33").innerHTML = '\$' + (0.48+ sujetId) + '\$';	$("#js-34").innerHTML = '\$' + (0.9+ sujetId) + '\$';	$("#js-35").innerHTML = '\$' + (1+ sujetId) + '\$';

1. Tracer le nuage de points de cette série statistique.
Peut-on envisager un ajustement linéaire ?
Justifier votre réponse.

On propose comme changement de variables $("#js-36").innerHTML = '\$' + 'Z = 10^{Y - ' + sujetId + '}\$';.

2. Déterminer l'équation de la droite d'ajustement linéaire entre $ Z $ et $ X $.
On supposera qu'il s'agit de la droite passant par le premier et le dernier point.

3. Au vu de la question précédente, démontrer que $("#js-38").innerHTML = '\$' + 'Y = \\log(X - 2)+ ' + sujetId + '\$';.

4. Estimer - par le calcul - le nombre de vues aux bout de $ 15 $ minutes.

5. Estimer - par le calcul - le délai pour atteindre $("#js-40").innerHTML = '\$' + (3+sujetId) + '\\,000\$'; vues.
On convertira dans une unité appropriée.

Problème (6 points)

Le niveau de pression acoustique, noté $ L $, exprimé en décibels, s'exprime sous la forme :

$ L(p) = 20\log\left(\dfrac{p}{p_0}\right) $

où $ p $ est la pression du son (en bars) et $ p_0 $ la valeur minimale de la pression perçue par l'oreille humaine (en bars).

Pour un individu en bonne santée, $ p_0 = 2\times 10^{-5} $ bars.

1. Démontrer que $ L(p) = 20\log(p) - 20\log(2) + 100 $.

2. Combien de décibels produisent une pression du son de $ 20 $ bars ?
Il s'agit de la pression maximale que peut supporter l'oreille humaine.

3. Il y a un risque pour l'audition dès $ 80 $ décibels.
À quelle pression cela correspond-t-il ?

■

Aide

Question n°1

=w $("#js-10").innerHTML = '\$' + (Math.floor(100*(100 - a - b + c))/100) + '\$';%.

=w $("#js-12").innerHTML = '\$' + (Math.floor(100*t)/100) + '\$';%.

=w $("#js-6").innerHTML = '\$' + (Math.floor(100*r)/100) + '\$';%.

=w $("#js-8").innerHTML = '\$' + (Math.floor(100*(a + b + c))/100) + '\$';%.

Question n°2

$ A = $ $("#js-24").innerHTML = '\$' + (b + a) + 'x\$';.

$ A = $ $("#js-23").innerHTML = '\$' + (b * b) + op + (2 * a * b) + 'x +' + (a * a) + 'x^2\$';.

$ A = $ $("#js-25").innerHTML = '\$' + (b - a) + 'x\$';.

$ A = $ $("#js-26").innerHTML = '\$' + (b * b) + op + (a * a) + 'x^2\$';.

■

Solution

Passons d'écritures additives en écritures multiplicatives :

- Une baisse de $("#js-13").innerHTML = '\$' + a + '\$';% équivaut à multiplier par $("#js-14").innerHTML = '\$' + '1 - 0.' + a + ' = 0.' + (100 - a) + '\$';.
- Une baisse de $("#js-15").innerHTML = '\$' + b + '\$';% équivaut à multiplier par $("#js-16").innerHTML = '\$' + '1 - 0.' + b + ' = 0.' + (100 - b) + '\$';.
- Une hausse de $("#js-17").innerHTML = '\$' + c + '\$';% équivaut à multiplier par $("#js-18").innerHTML = '\$' + '1 + 0.' + c + ' = 1.' + c + '\$';.

L'évolution générale est donc donnée par :

$("#js-19").innerHTML = '\$' + '0.' + (100 - a) + '\\times 0.' + (100 - b) + '\\times 1.' + c + ' = ' + Float.toTex(t/100, 8) + '\$';

Conclusion !
= w $("#js-21").innerHTML = '\$' + '100' + op + t + '\\approx' + (Math.floor(100*r)/100) + '\$';%.

Commençons par rappeler les deux premières identités remarquables : pour tous nombres $ a $ et $ b $,

$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

Appliquons l'identité remarquable $("#js-27").innerHTML = '\$' + T[s] + '\$'; :

$ A $	$ = $	$("#js-28").innerHTML = '\$' + '(' + b + op + a + 'x)^2\$';
	$ = $	$("#js-29").innerHTML = '\$' + b + '^2' + op + '2\\times ' + b + '\\times ' + a + 'x + (' + a + 'x)^2\$';.
	$ = $	$("#js-30").innerHTML = '\$' + (b * b) + op + (2 * a * b) + 'x +' + (a * a) + 'x^2\$';.