Les suites géométiques

Devoir surveillé no5
 | Dimanche 03 Novembre 2024

La calculatrice est autorisée.

Les automatismes (4 points)

Question no1

Question !
Un loyer mensuel de $("#js-1").innerHTML = '\\(' + n + '\\)';€ augmente de $("#js-2").innerHTML = '\\(' + p + '\\)';%.
Quel est son nouveau prix ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Question no2

Question !
Un pullover coûte de $("#js-10").innerHTML = '\\(' + m + '\\)';€ après une remise de $("#js-11").innerHTML = '\\(' + p + '\\)';%.
Quel était son prix initial ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Exercice (12 points)

On considère une suite \( (u_n) \), géométrique, de premier terme $("#js-25").innerHTML = '\\(' + 'u_0 = ' + u0 +'\\)'; et de raison $("#js-26").innerHTML = '\\(' + q + '\\)';%, c'est à dire $("#js-27").innerHTML = '\\(' + '0,' + q + '\\)';.

1. La suite est-elle croissante ?

2. Calculer les valeurs \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \).

3. Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).

4. Calculer les valeurs \( u_{10} \) et \( u_{12} \).

5. À partir de quel rang \( n \) obtient-on que \( u_n \) soit inférieur à \( 0.1 \) ?

6. Calculer la somme des \( u_n \) pour \( n \) allant de 0 à \( 10 \).

Problème (4 points)

Sur un échiquier (c'est à dire une grille de \( 64 \) cases), je place \( 1 \) grain de riz sur la première case, $("#js-47").innerHTML = '\\(' + (riz) + '\\)'; grains de riz sur la deuxième case, $("#js-48").innerHTML = '\\(' + (riz*riz) + '\\)'; sur la troisième… et ainsi de suite.
De combien de grains de riz vais-je avoir besoin pour compléter entièrement mon échiquier ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

■

Aide

Question n°1

$("#js-4").innerHTML = '\\(' + (n * (100 - p)/100) + '\\)';€

$("#js-3").innerHTML = '\\(' + m + '\\)';€

$("#js-5").innerHTML = '\\(' + (n + p) + '\\)';€

$("#js-6").innerHTML = '\\(' + (n + (p/100)) + '\\)';€

Question n°2

$("#js-14").innerHTML = '\\(' + (n + p) + '\\)';€

$("#js-15").innerHTML = '\\(' + (n - p) + '\\)';€

$("#js-13").innerHTML = '\\(' + (n * (100 + p)/100) + '\\)';€

$("#js-12").innerHTML = '\\(' + n + '\\)';€

■
Solution

Les automatismes (4 points)

Question no1

Puisque le prix augmente de $("#js-7").innerHTML = '\\(' + p + '\\)';%, nous calculons :

$("#js-8").innerHTML = '\\(' + '\\underbrace{' + n + '}_{\\text{Prix initial}} + \\underbrace{' + n + '\\times' + p + '\\div 100}_{\\text{Augmentation}} = ' + m + '\\)';

Conclusion !
Le nouveau prix du loyer est $("#js-9").innerHTML = '\\(' + m + '\\,\\)';€.

Question no2

Notons par \( x \) le prix initial du pullover.
La remise étant de $("#js-16").innerHTML = '\\(' + p + '\\)';%, nous obtenons l'équation :

$("#js-17").innerHTML = '\\(' + 'x - \\dfrac{' + p + '}{100}\\times x = ' + m + '\\)';

En voici la résolution :

$("#js-18").innerHTML = '\\(' + 'x - ' + (p/100) + ' x \\)';\( = \) $("#js-19").innerHTML = '\\(' + m + '\\)';
$("#js-20").innerHTML = '\\(' + ((100-p)/100) + ' x\\)';\( = \) $("#js-21").innerHTML = '\\(' + m + '\\)';
\( x \)\( = \) $("#js-22").innerHTML = '\\(' + m + '\\div' + ((100-p)/100) + '\\)';
\( x \)\( = \) $("#js-23").innerHTML = '\\(' + n + '\\)';

Conclusion !
Le prix initial du pullover était $("#js-24").innerHTML = '\\(' + n + '\\,\\)';€.

Exercice (12 points)

1. La suite est-elle croissante ?

La suite est décroissante car elle est géométrique et sa raison est comprise strictement entre 0 et \( 1 \).

2. Calculer les valeurs \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \).

Calculons par récurrence :

$("#js-28").innerHTML = '\\(' + 'u_1 = ' + u0 + '\\times 0,' + q + '=' + (u1/100) + '\\)';
$("#js-29").innerHTML = '\\(' + 'u_2 = ' + (u1/100) + '\\times 0,' + q + '=' + (u2/10000) + '\\)';
$("#js-30").innerHTML = '\\(' + 'u_3 = ' + (u2/10000) + '\\times 0,' + q + '=' + (u3/1000000) + '\\)';

3. Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).

Pour tout entier \( n\in\mathbb{N} \), $("#js-31").innerHTML = '\\(' + 'u_n = ' + u0 + '\\times 0,' + q + '^n' + '\\)';.

4. Calculer les valeurs \( u_{10} \) et \( u_{12} \).

Calculons par l'expression :

$("#js-32").innerHTML = '\\(' + 'u_{10} = ' + u0 + '\\times 0,' + q + '^{10} \\approx' + Float.toTex(u0 * Math.pow(q, 10), 3) + '\\)';
$("#js-33").innerHTML = '\\(' + 'u_{12} = ' + u0 + '\\times 0,' + q + '^{12} \\approx' + Float.toTex(u0 * Math.pow(q, 12), 5) + '\\)';

5. À partir de quel rang \( n \) obtient-on que \( u_n \) soit inférieur à \( 0.1 \) ?

Commençons par résoudre l'équation \( u_n = 0.1 \).

\( u_n \)\( = \)\( 0. 1 \)
$("#js-34").innerHTML = '\\(' + u0 + '\\times 0,' + q + '^n' + '\\)';\( = \)\( 0. 1 \)
$("#js-35").innerHTML = '\\(' + '0,' + q + '^n' + '\\)';\( = \) $("#js-36").innerHTML = '\\(' + '0. 1\\div ' + u0 + '\\)';
$("#js-37").innerHTML = '\\(' + '\\log(0,' + q + '^n)' + '\\)';\( = \) $("#js-38").innerHTML = '\\(' + '\\log(0. 1\\div ' + u0 + ')\\)';
$("#js-39").innerHTML = '\\(' + 'n\\times \\log(0,' + q + ')' + '\\)';\( = \) $("#js-40").innerHTML = '\\(' + '\\log(0. 1\\div ' + u0 + ')\\)';
$("#js-41").innerHTML = '\\(' + 'n' + '\\)';\( = \) $("#js-42").innerHTML = '\\(' + '\\log(0. 1\\div ' + u0 + ')\\div\\log(0,' + q + ')\\)';
$("#js-43").innerHTML = '\\(' + 'n' + '\\)';\( \approx \) $("#js-44").innerHTML = '\\(' + Float.toTex(result, 5) + '\\)';

Ainsi, la suite étant décroissante, \( u_n \leq 0.1 \) pour tout entier $("#js-45").innerHTML = '\\(' + 'n \\geq ' + Math.ceil(result) + '\\)';.

6. Calculer la somme des \( u_n \) pour \( n \) allant de 0 à \( 10 \).

La somme des \( u_n \) pour \( n \) allant de 0 à \( 10 \) est donnée par :

$("#js-46").innerHTML = '\\(' +'\\displaystyle\\sum_{i=0}^{10} u_n = ' + u0 + '\\times\\frac{1 - 0.' + q + '^{11}}{1 - 0.' + q + '} \\approx ' + question6 + '\\)';

Problème (4 points)

Puisque $("#js-49").innerHTML = '\\(' + ' 1 = ' + riz + '^0\\)';, $("#js-50").innerHTML = '\\(' + riz + ' = ' + riz + '^1\\)'; et $("#js-51").innerHTML = '\\(' + riz*riz + ' = ' + riz + '^2\\)';, nous reconnaissons une situation modélisable par une suite géométrique \( (u_n) \), de raison $("#js-52").innerHTML = '\\(' + riz + '\\)'; et de premier terme \( u_0 = 1 \).

Nous pouvons écrire que :

$("#js-53").innerHTML = '\\(' + 'u_n = 1 \\times ' + riz + '^n\\)';

Nous calculons la somme pour les 64 cases, numérotées de 0 à 63 :

$("#js-54").innerHTML = '\\(' +'\\displaystyle\\sum_{i=0}^{63} u_n = \\frac{1 - ' + riz + '^{64}}{1 - ' + riz + '} \\approx ' + result + '\\)';

Conclusion !
Il faut donc approximativement $("#js-55").innerHTML = '\\(' + result +'\\)'; grains de riz pour combler Sissa.