Commençons par poser le problème : pour une fonction \( f \) définie sur \( {\mathbb R} \), on veut trouver un polynôme \( P \) dont les représentations graphiques se ressemblent sur un segment fixé.

Pour commmencer, on définie \( f \) pour tout \( x\in{\mathbb R} \) par \( f(x) = \sqrt{x} \).

À faire - Tracer sur GeoGebra la fonction \( f \).

 
Deux points..
 

Fixons deux points \( A_0(0; f(0)) \) et \( A_1(1; f(1)) \).

Question n^o1 - Quelles sont les coordonnées de \( A_0 \) et \( A_1 \) ?

Définissons les polynôme \( L_0 \) et \( L_1 \) par :

\( \displaystyle L_0(x) = \frac{x - 1}{0 - 1} \)

\( \displaystyle L_1(x) = \frac{x - 0}{1 - 0} \)

Enfin, on définie \( P(x) = f(0)L_0(x) + f(1)L_1(x) \)

Question n^o2 - Démontrer que \( P(x) = x \).

Question n^o3 - Vérifier - sur GeoGebra - que la représentation graphique de \( P \) passe par les points \( A_0 \) et \( A_1 \).

 
Trois points ?!
 

Fixons trois points \( A_0(0; f(0)) \), \( A_1(1; f(1)) \) et \( A_2(2; f(2)) \).

Question n^o4 - Quelles sont les coordonnées de \( A_0 \), \( A_1 \) et \( A_2 \) ?

Définissons les polynôme \( L_0 \), \( L_1 \) et \( L_2 \) par :

\( \displaystyle L_0(x) = \frac{x - 1}{0 - 1}\times\frac{x - 2}{0 - 2} \)

\( \displaystyle L_1(x) = \frac{x - 0}{1 - 0}\times\frac{x - 2}{1 - 2} \)

\( \displaystyle L_2(x) = \frac{x - 0}{2 - 0}\times\frac{x - 1}{2 - 1} \)

Enfin, on définie \( P(x) = f(0)L_0(x) + f(1)L_1(x) + f(2)L_2(x) \).

Question n^o5 - Développer et simplifier \( P \).

Question n^o6 - Vérifier - sur GeoGebra - que la représentation graphique de \( P \) passe par les points \( A_0 \), \( A_1 \) et \( A_2 \).

 
Beaucoup de points !!!
 

À faire : Construire sur GeoGebra le point \( A \) d'abscisse \( A(k, f(k)) \).
Activer la trace.

Question n^o7 - Si \( n = 5 \), combient de points GeoGebra va-t-il construire ?

À faire : Définir le polynôme \( L \) par :

L(x)=Product(If(i==k, 1, ((x-i)/(k-i))),i,0,n)

Question n^o8 - Si \( n=4 \) et \( k=2 \), quelle est l'expression proposée par GeoGebra ?

À faire : Définir le polynôme \( P \) par :

P(x)=Sum(f(k) Product(If(i==k,1,((x-i)/(k-i))),i,0,n),k,0,n)

Question n^o9 - Faire une capture d'écran pour \( n=5 \).
Que se passe-t-il en dehors de l'intervalle \( [0; 5] \) ?