Les situations suivantes se modélisent par une loi binomiale.
On se référera au TP [...] / loi_binomiale pour revoir la manipulation du logiciel.

1. Une crue centennale

Une crue centennale est une crue dont la probabilité d'apparition (dite période de retour) sur une année est de \( 1 \)%.
La dernière crue centennale de Paris a eu lieu en 1910.
On note X le nombre de crues centennales qui auront lieu à Paris dans le siècle à venir.

1. Quelle est la loi suivie par \( X \) ?

2. Quelle est l'espérance de \( X \) ? Interpréter ce résultat.

3. Quelle est la probabilité qu'au moins une crue se produise pendant le siècle ?

4. Quelle est la probabilité qu'au moins deux crues se produisent pendant le siècle ?

Bob déclare : "Aie ! ça fait plus de cent ans que la dernière crue centennale a eu lieu, c'est de plus en plus probable que la prochaine arrive."

5. A-t-il raison ou tort ?

2. Une fraude coûteuse

Pour s'assurer que les usagers achètent un billet, une compagnie de bus contrôle chaque jour \( 10 \)% de ses lignes au hasard.
Bob utilise le bus \( 30 \) fois par mois.
Notons \( X \), le nombre de fois que Bob est contrôlé sur un mois.

1. Quelle est la loi suivie par \( X \) ?

2. Quelle est la probabilité que Bob soit contrôlé exactement \( 5 \) fois ce mois-ci ?

3. Quelle est la probabilité que Bob soit contrôlé au moins \( 5 \) fois ce mois-ci ?

4. Quelle est l'espérance de \( X \) ? Interpréter ce résultat.

Un billet coûte \( 1 \)€, une amende coûte \( 50 \)€.

5. Globalement, ne pas prendre de billet est-il rentable ?
Justifier soigneusement votre réponse.