Commençons par définir l'objet du T.D. : pour tout \( n\in{\mathbb N} \) et \( k\in{\mathbb N} \), le polynôme de Bernstein \( B_n^p \) est défini pour tout \( x\in{\mathbb R} \) par

\( \displaystyle B_k^n(x) =\binom{n}{k}\,x^k\,(1-x)^{n-k} \)

Ce polynôme correspond à l’expression de la probabilité \( P(X=k) \) pour une v.a.r. \( X \) suivant une loi \( \mathcal{B}(n; x) \) - lorsque \( x \) est compris entre 0 et \( 1 \).

Exemples :

\( \displaystyle B_0^0(x) =\binom{0}{0}\,x^0\,(1-x)^{0-0} = 1 \)

\( \displaystyle B_0^1(x) =\binom{1}{0}\,x^0\,(1-x)^{1-0} = 1-x \)

\( \displaystyle B_1^1(x) =\binom{1}{1}\,x^1\,(1-x)^{1-1} = x \)

\( \displaystyle \dots \)

Attention ! Le travail est à rédiger sur traitement de texte et à déposer sur Pronote. On y ajoutera les captures d'écran de GeoGebra.

1ère partie

Premier degré

Question n^o1 - Démontrer que \( B_0^1(x) + B_1^1(x) = 1 \).

2ème partie

Deuxième degré…

Question n^o2 - Démontrer que :

\( \displaystyle a)~ B_0^2(x) = 1-2x + x^2 \)

\( \displaystyle b)~ B_1^2(x) = 2x -2x^2 \)

\( \displaystyle c)~ B_2^2(x) = x^2 \)

Question n^o3 - Que peut-on dire de la somme des trois polynômes de Bernstein du deuxième degré ? Justifier votre réponse.

Question n^o4 - Tracer les représentations graphiques de ces trois polynômes dans un repère orthonormé.

3ème partie

Troisième degré !!!

Question n^o5 - Déterminer les expressions de \( B_0^3 \), \( B_1^3 \), \( B_2^3 \) et \( B_3^3 \).

Question n^o6 - Que peut-on dire de la somme des quatre polynômes de Bernstein du troisième degré ? Justifier votre réponse.

Question n^o7 - Tracer les représentations graphiques de ces quatre polynômes dans un repère orthonormé.

4ème partie

Généralisation

Question n^o8 - Sans justification, combien trouve-t-on de polynômes de Bernstein du quinzième degré ?

Question n^o9 - Sans justification, combien vaut la somme des polynômes de Bernstein du quinzième degré ?