Préalable

Dans un repère orthonormé \( (O; \vec{i}; \vec{j}) \), on considère la représentation graphique de la fonction :

1. Démontrer que pour tout \( x\in [0; 1] \), \( M(x; f(x)) \) est sur le cercle de centre \( O \) et de rayon 1.

2. Déterminer l'aire de la surface \( \mathcal{S} \) entre la courbe représentative de \( f \) et l'axe des abscisses.

3. Si on choisit un point au hasard dans le carré \( [0; 1]\times[0; 1] \), quelle est la probabilité \( P \) qu'il soit dans \( \mathcal{S} \) ?

On choisit \( 300 \) points au hasard dans le carré, et on s'intéresse à la probabilité que ces points soient dans \( \mathcal{S} \).
On note \( X \) la variable aléatoire correspondant à cette épreuve.

4. Quelle loi suit \( X \) ?

5. Quelle est l'espérance de \( X \) ?

Allons-y !

Sur GeoGebra, tracer la fonction, la surface, puis afficher le tableur.

1. Dans la case A1, écrire =random(). La case prend alors une valeur aléatoire entre 0 et 1.

2. Faire de même dans la case B1.

3. Dans la case C1, écrire =(A1; B1). Que remarque-t-on sur le dessin ?

4. Dans la case D1, écrire =Si(f(A1) < B1, 0, 1). Interpréter le résultat.

5. Etendre le tableau jusqu'à la 300ème ligne, puis calculer la moyenne arithmétique de la colonne D.

6. Quelle valeur approchée de \( \pi \) obtient-t-on ?