Considérons la fonction \( f \) définie sur \( ]0; +\infty[ \) par :

\( \displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2} \)

Ouvrons un tableur.
Dans la colonne \( A \), nous voulons afficher les entiers naturels non nuls.

Posons \( A1 = 1 \).

Question 1. Quelle formule faut-il écrire dans \( A2 \) pour obtenir la liste des entiers naturels en étendant \( A2 \) ?

Posons \( B1 = f(A1) \).

L'objectif est d'additionner une à une toutes les valeurs de la colonne \( B \).
Posons \( C1 = B1 \).

Question 2. Quelle formule faut-il écrire dans \( C2 \) pour obtenir la liste des sommes des valeurs de \( B \) en étendant \( C2 \) ?

Question 3. Quelle est la valeur de \( C4 \) ?

Question 4. Comment évolue la colonne \( C \) ?

Question 5. À combien semble-t-elle se stabiliser ?

Curiosité - La valeur limite est connue avec précision : il s'agit de \( \frac{\pi^2}{6} \).
Le calcul de cette valeur est connu sous le nom du problème de Bâle.

Question 6. Recommencer avec les fonctions définie sur \( ]0; +\infty[ \) par :

\( \displaystyle g(x) = \frac{1}{x^3} \)

\( \displaystyle h(x) = \frac{1}{x} \)

\( \displaystyle k(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{0.5}} \)

Question 7. Que remarque-t-on ?