Accueil
Ressources
Personnel
La calculatrice est autorisée. Sujet no $("#js-1").innerHTML = '\\(' + xu + '.' + xA + '\\)';.
Un air de déjà-vu (4 points)
Automatisme no1
Question
Un club d'échecs compte
$("#js-2").innerHTML = '\\(' + n + '\\)'; membres dont
$("#js-3").innerHTML = '\\(' + r + '\\)'; filles.
Quelle proportion représente les filles ?
Justifier soigneusement votre réponse.
Automatisme no2
Question !
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation
$("#js-12").innerHTML = '\\(' + a + 'x + ' + b + ' = ' + y + '\\)';.
Justifier soigneusement votre réponse.
Exercice (8 points)
Dans un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \) orthonormé, on considère les points $("#js-26").innerHTML = '\\(' + 'A(' + xA + ', ' + yA + ')\\)';, $("#js-27").innerHTML = '\\(' + 'B(' + xB + ', ' + yB + ')\\)'; et $("#js-28").innerHTML = '\\(' + 'C(' + xC + ', ' + yC + ')\\)';.
1. Déterminer les coordonnées de \( D \) tel que \( ABCD \) soit un parallélogramme.
2. Démontrer que \( ABCD \) est un losange.
3. Démontrer que \( ABCD \) est un carré.
4. Déterminer les coordonnées de \( M \), centre du carré.
Problème (8 points)
Considérons un quadrilatère \( MNPQ \). On définit les points \( R \) et \( S \) par :
\( \overrightarrow{QR} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN} \) et \( \overrightarrow{MS} = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ} \)
L'objectif du problème est de montrer que \( \overrightarrow{MR} \) et \( \overrightarrow{NS} \) sont colinéaires.
1. Démontrer que :
\( \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MQ} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN} \) et \( \overrightarrow{NS} = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ} - \overrightarrow{MN} \)
2. Conclure !
■
Aide
Question n°1
Les filles représentent $("#js-6").innerHTML = '\\(' + Math.abs(n - r) + '\\,\\%\\)';.
Les filles représentent $("#js-4").innerHTML = '\\(' + p + '\\,\\%\\)';.
Les filles représentent $("#js-5").innerHTML = '\\(' + (100 - p) + '\\,\\%\\)';.
Les filles représentent $("#js-7").innerHTML = '\\(' + Math.abs(n + r) + '\\,\\%\\)';.
Question n°2
$("#js-13").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + x + '\\)';
$("#js-15").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + rand(20, 29) + '\\)';
$("#js-14").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + rand(10, 19) + '\\)';
$("#js-16").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + rand(40, 49) + '\\)';
Un air de déjà-vu (4 points)
Automatisme no1
Dressons un tableau de proportionnalité récapitulant la situation :
| Membres | $("#js-8").innerHTML = '\\(' + n + '\\)'; | \( 100 \) |
| Filles | $("#js-9").innerHTML = '\\(' + r + '\\)'; | ? |
Nous trouvons la quatrième valeur en appliquant un produit en croix :
$("#js-10").innerHTML = '\\(' + '\\dfrac{' + r + '\\times 100}{' + n + '} = ' + p + '\\)';
Conclusion !
Les filles représentent
$("#js-11").innerHTML = '\\(' + p + '\\%\\)'; des membres du club.
Automatisme no2
| $("#js-17").innerHTML = '\\(' + a + 'x + ' + b + '\\)'; | \( = \) | $("#js-18").innerHTML = '\\(' + y + '\\)'; |
| $("#js-19").innerHTML = '\\(' + a + 'x\\)'; | \( = \) | $("#js-20").innerHTML = '\\(' + y + ' - ' + b + '\\)'; |
| $("#js-21").innerHTML = '\\(' + a + 'x\\)'; | \( = \) | $("#js-22").innerHTML = '\\(' + (y - b) + '\\)'; |
| \( x \) | \( = \) | $("#js-23").innerHTML = '\\(' + (y - b) + '\\div ' + a + '\\)'; |
| \( x \) | \( = \) | $("#js-24").innerHTML = '\\(' + x + '\\)'; |
On pourra revoir le cours sur les techniques de résolution des équations pour s'aider ! (Lien ici : [...] / 2_techniques_de_resolutions_d_equations)
Conclusion !
La solution de l'équation est
$("#js-25").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + x + '\\)';.
Exercice (8 points)
1. Déterminer les coordonnées de \( D \) tel que \( ABCD \) soit un parallélogramme.
\( ABCD \) est un parallélogramme si et seulement si \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \). Or,
$("#js-29").innerHTML = '\\(' + '\\overrightarrow{AB} \\begin{pmatrix}' + xB + ' - ' + xA + '\\\\' + yB + ' - ' + yA + '\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}' + xu + '\\\\' + yu + '\\end{pmatrix}\\)';
$("#js-30").innerHTML = '\\(' + '\\overrightarrow{DC} \\begin{pmatrix}' + xC + ' - x_D\\\\' + yC + ' - y_D \\end{pmatrix}\\)';
On obtient alors :
| $("#js-31").innerHTML = '\\(' + xu + '\\)'; | $("#js-32").innerHTML = '\\(' + '\\,=' + xC + '-x_D\\)'; |
| \( x_D \) | $("#js-33").innerHTML = '\\(' + '\\,=' + xC + '-' + xu + '\\)'; |
| \( x_D \) | $("#js-34").innerHTML = '\\(' + '\\,=' + xD + '\\)'; |
| $("#js-35").innerHTML = '\\(' + yu + '\\)'; | $("#js-36").innerHTML = '\\(' + '\\,=' + yC + '-y_D\\)'; |
| \( y_D \) | $("#js-37").innerHTML = '\\(' + '\\,=' + yC + '-' + yu + '\\)'; |
| \( y_D \) | $("#js-38").innerHTML = '\\(' + '\\,=' + yD + '\\)'; |
Finalement, le point \( D \) a pour coordonnées $("#js-39").innerHTML = '\\(' + '(' + xD + '; ' + yD + ')\\)';.
2. Démontrer que \( ABCD \) est un losange.
\( ABCD \) étant un parallélogramme, on obtient un losange si et seulement si deux côtés consécutifs ont la même longueur. Or,
$("#js-40").innerHTML = '\\(' + '\\overrightarrow{CB} \\begin{pmatrix}' + xB + ' - ' + xC + '\\\\' + yB + ' - ' + yC + '\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}' + (xB - xC) + '\\\\' + (yB - yC) + '\\end{pmatrix}\\)';
On obtient alors :
$("#js-41").innerHTML = '\\(' + 'CB = \\lVert\\overrightarrow{CB}\\rVert = \\sqrt{(' + (xB - xC) + ')^2 + ' + (yB - yC) +'^2} = \\sqrt{' + ((xB - xC)*(xB - xC)) + ' + ' + ((yB - yC)*(yB - yC)) +'} = \\sqrt{' + ((xB - xC)*(xB - xC) + (yB - yC)*(yB - yC)) + '}\\)';
$("#js-42").innerHTML = '\\(' + 'AB = \\lVert\\overrightarrow{AB}\\rVert = \\sqrt{' + xu + '^2 + ' + yu +'^2} = \\sqrt{' + (xu*xu) + ' + ' + (yu*yu) +'} = \\sqrt{' + (xu*xu + yu*yu) + '}\\)';
3. Démontrer que \( ABCD \) est un carré.
\( ABCD \) étant un losange, on obtient un carré si et seulement si ses diagonales ont la même longueur. Or,
$("#js-43").innerHTML = '\\(' + '\\overrightarrow{AC} \\begin{pmatrix}' + xC + ' - ' + xA + '\\\\' + yC + ' - ' + yA + '\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}' + (xC - xA) + '\\\\' + (yC - yA) + '\\end{pmatrix}\\)';
$("#js-44").innerHTML = '\\(' + '\\overrightarrow{BD} \\begin{pmatrix}' + xD + ' - ' + xB + '\\\\' + yD + ' - ' + yB + '\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}' + (xD - xB) + '\\\\' + (yD - yB) + '\\end{pmatrix}\\)';
On obtient alors :
$("#js-45").innerHTML = '\\(' + 'AC = \\lVert\\overrightarrow{AC}\\rVert = \\sqrt{' + (xC - xA) + '^2 + (' + (yC - yA) +')^2} = \\sqrt{' + ((xC - xA)*(xC - xA)) + ' + ' + ((yC - yA)*(yC - yA)) +'} = \\sqrt{' + ((xC - xA)*(xC - xA) + (yC - yA)*(yC - yA)) + '}\\)';
$("#js-46").innerHTML = '\\(' + 'BD = \\lVert\\overrightarrow{BD}\\rVert = \\sqrt{(' + (xD - xB) + ')^2 + (' + (yD - yB) +')^2} = \\sqrt{' + ((xD - xB)*(xD - xB)) + ' + ' + ((yD - yB)*(yD - yB)) +'} = \\sqrt{' + ((xD - xB)*(xD - xB) + (yD - yB)*(yD - yB)) + '}\\)';
4. Déterminer les coordonnées de \( M \), centre du carré.
\( M(x_M; y_M) \) étant le centre du carré, c'est le milieu de \( [AC] \). Donc \( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{CM}= \vec{0} \).
Ainsi :
$("#js-47").innerHTML = '\\(' + '\\begin{pmatrix} x_M - ' + xA + '\\\\ y_M - ' + yA + '\\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} x_M - ' + xC + '\\\\ y_M - ' + yC + '\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}0\\\\0\\end{pmatrix}\\)';
Donc : $("#js-48").innerHTML = '\\(' + '\\begin{pmatrix} x_M - ' + xA + ' + x_M - ' + xC + '\\\\ y_M - ' + yA + ' + y_M - ' + yC + '\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}0\\\\0\\end{pmatrix}\\)';
Donc : $("#js-49").innerHTML = '\\(' + '\\begin{pmatrix} 2x_M - ' + (xA + xC) + '\\\\ 2y_M - ' + (yA + yC) + '\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}0\\\\0\\end{pmatrix}\\)';
Finalement, $("#js-50").innerHTML = '\\(' + 'x_M =\\dfrac{' + (xA + xC) + '}{2} = ' + ((xA + xC)/2) + '\\)'; et $("#js-51").innerHTML = '\\(' + 'y_M =\\dfrac{' + (yA + yC) + '}{2} = ' + ((yA + yC)/2) + '\\)';
Problème (8 points)
1. Démontrer que :
\( \overrightarrow{MR} = \overrightarrow{MQ} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN} \) et \( \overrightarrow{NS} = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ} - \overrightarrow{MN} \)
2. Conclure !