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La calculatrice est autorisée. Sujet no = a.
Les automatismes (4 points)
Question no1
Question !
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation
$("#js-2").innerHTML = '\\(' + a + 'x + ' + b + ' = ' + y + '\\)';.
La réponse doit être soigneusement justifiée.
Question no2
Question !
Dans un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \), on considère les points
$("#js-16").innerHTML = '\\(' + 'A(' + xA + '; ' + yA + ')\\)'; et
$("#js-17").innerHTML = '\\(' + 'B(' + xB + '; ' + yB + ')\\)';.
Quelle est l'équation réduite de la droite \( (AB) \) ?
La réponse doit être soigneusement justifiée.
2. Exercice (8 points)
Un hypermarché propose à ses clients six modèles de téléviseurs.
Il réalise une étude du volume des ventes en fonction du prix.
| Prix (\( x \)) | 300 | 350 | 400 | 450 | 500 | 550 |
| Volume (\( y \)) | $("#js-36").innerHTML = '\\(' + (200 + a) + '\\)'; | $("#js-37").innerHTML = '\\(' + (181 + a) + '\\)'; | $("#js-38").innerHTML = '\\(' + (162 + a) + '\\)'; | $("#js-39").innerHTML = '\\(' + (153 + a) + '\\)'; | $("#js-40").innerHTML = '\\(' + (124 + a) + '\\)'; | $("#js-41").innerHTML = '\\(' + (104 + a) + '\\)'; |
1. Construire le nuage de points associé.
2. Calculer les coordonnées de \( M_i \), le point moyen des trois premières valeurs.
3. Calculer les coordonnées de \( M_s \), le point moyen des trois dernières valeurs.
4. Déterminer l'équation de la droite \( (M_iM_s) \).
On supposera que \( (M_iM_s) \) constitue la droite d'ajustement affine du nuage de points.
5. Déterminer le volume de ventes envisageable pour une télévision de \( 600 \)€.
6. Déterminer le prix optimal pour vendre $("#js-52").innerHTML = '\\(' + (280 + a) + '\\)'; télévisions.
3. Problème (8 points)
Dans le tableau suivant, on a relevé le prix (noté \( p \)) au fil des années depuis 2019 (noté \( x \)) d'une pièce de collection.
| Année | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
| Rang de l'année (\( x \)) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Prix (\( p \)) | 0 | 25 | 49 | 121 | xxx | 324 |
Le prix en 2023 est inconnu.
Un ajustement affine entre \( p \) et \( x \) n'est pas envisageable, car le prix augmente trop vite au fil du temps.
En utilisant la méthode des moindres carrés, montrer que l'ajustement est donné par \( p(x) = (3.5x+0.5)^2 \).
En déduire le prix probable en 2023.
On pourra effectuer un changement de variables.
■
Aide
Question n°1
$("#js-3").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + x + '\\)';
$("#js-6").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + rand(40, 49) + '\\)';
$("#js-5").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + rand(20, 29) + '\\)';
$("#js-4").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + rand(10, 19) + '\\)';
Question n°2
$("#js-20").innerHTML = '\\(' + '(AB) : y = ' + rand(6, 9) + 'x + ' + rand(6, 9) + '\\)';
$("#js-18").innerHTML = '\\(' + '(AB) : y = ' + a + 'x + ' + b + '\\)';
$("#js-19").innerHTML = '\\(' + '(AB) : y = ' + rand(2, 5) + 'x + ' + rand(2, 5) + '\\)';
$("#js-21").innerHTML = '\\(' + '(AB) : y = ' + (a+op) + 'x + ' + (b+op) + '\\)';
Les automatismes (4 points)
Question no1
| $("#js-7").innerHTML = '\\(' + a + 'x + ' + b + '\\)'; | \( = \) | $("#js-8").innerHTML = '\\(' + y + '\\)'; |
| $("#js-9").innerHTML = '\\(' + a + 'x\\)'; | \( = \) | $("#js-10").innerHTML = '\\(' + y + ' - ' + b + '\\)'; |
| $("#js-11").innerHTML = '\\(' + a + 'x\\)'; | \( = \) | $("#js-12").innerHTML = '\\(' + (y - b) + '\\)'; |
| \( x \) | \( = \) | $("#js-13").innerHTML = '\\(' + (y - b) + '\\div ' + a + '\\)'; |
| \( x \) | \( = \) | $("#js-14").innerHTML = '\\(' + x + '\\)'; |
On pourra revoir le cours sur les techniques de résolution des équations pour s'aider ! (Lien ici : [...] / 2_techniques_de_resolutions_d_equations)
Conclusion !
La solution de l'équation est
$("#js-15").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + x + '\\)';.
Question no2
Nous cherchons le coefficient directeur, noté \( a \), de la droite \( (AB) \) :
$("#js-22").innerHTML = '\\(' + 'a = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\dfrac{' + yB + ' - ' + yA + '}{' + xB + ' - ' + xA + '} = ' + a + '\\)';
Puis nous cherchons son ordonnée à l'origine, noté \( b \), en utilisant soit le point \( A \), soit le point \( B \) :
| \( y_A \) | \( = a \times x_A + b \) |
| $("#js-23").innerHTML = '\\(' + yA + '\\)'; | $("#js-24").innerHTML = '\\(' + '=' + a + '\\times '+ xA + ' + b\\)'; |
| $("#js-25").innerHTML = '\\(' + yA + '\\)'; | $("#js-26").innerHTML = '\\(' + '=' + (a * xA) + ' + b\\)'; |
| \( b \) | $("#js-27").innerHTML = '\\(' + '=' + yA + ' - ' + (a * xA) + '\\)'; |
| \( b \) | $("#js-28").innerHTML = '\\(' + '=' + b + '\\)'; |
ou
| \( y_B \) | \( = a \times x_B + b \) |
| $("#js-29").innerHTML = '\\(' + yB + '\\)'; | $("#js-30").innerHTML = '\\(' + '=' + a + '\\times '+ xB + ' + b\\)'; |
| $("#js-31").innerHTML = '\\(' + yB + '\\)'; | $("#js-32").innerHTML = '\\(' + '=' + (a * xB) + ' + b\\)'; |
| \( b \) | $("#js-33").innerHTML = '\\(' + '=' + yB + ' - ' + (a * xB) + '\\)'; |
| \( b \) | $("#js-34").innerHTML = '\\(' + '=' + b + '\\)'; |
Conclusion !
L'équation réduite de la droite est
$("#js-35").innerHTML = '\\(' + '(AB) : y = ' + a + 'x + ' + b + '\\)';.
2. Exercice (8 points)
1. Construire le nuage de points associé.
2. Calculer les coordonnées de \( M_i \), le point moyen des trois premières valeurs.
Calculons !
En abscisse : \( \dfrac{300 + 350 + 400}{3} = \dfrac{1050}{3} = 350 \).
En ordonnée : $("#js-42").innerHTML = '\\(' + '\\dfrac{' + (200 + a) + '+' + (181 + a) + '+' + (162 + a) + '}{3} = \\dfrac{' + (543+ 3*a) + '}{3} = ' + (181+a) + '\\)';.
Conclusion !
Les coordonnées sont
$("#js-43").innerHTML = '\\(' + 'M_i(350; ' + (181+a) + ')\\)';.
3. Calculer les coordonnées de \( M_s \), le point moyen des trois dernières valeurs.
Calculons !
En abscisse : \( \dfrac{450 + 500 + 550}{3} = \dfrac{1500}{3} = 500 \).
En ordonnée : $("#js-44").innerHTML = '\\(' + '\\dfrac{' + (153+ a) + '+' + (124+ a) + '+' + (104+ a) + '}{3} = \\dfrac{' + (381+ 3*a) + '}{3} = ' + (127+a) + '\\)';.
Conclusion !
Les coordonnées sont
$("#js-45").innerHTML = '\\(' + 'M_s(500; ' + (127+a) + ')\\)';.
4. Déterminer l'équation de la droite \( (M_iM_s) \).
Calculons le coefficient directeur :
$("#js-46").innerHTML = '\\(' + 'a = \\dfrac{' + (127+a) + ' - ' + (181+a) + '}{500 - 350} = \\dfrac{-54}{150} = -0.36\\)';
Calculons l'ordonnée à l'origine :
$("#js-47").innerHTML = '\\(' + 'b = ' + (127+a) + ' + 0.36\\times 500= ' + (307 + a)+ '\\)';
Conclusion !
L'équation de la droite est
$("#js-48").innerHTML = '\\(' + 'y = -0.36x + ' + (307 + a)+ '\\)';
5. Déterminer le volume de ventes envisageable pour une télévision de \( 600 \)€.
Si \( x = 600 \), alors $("#js-49").innerHTML = '\\(' + 'y = -0.36\\times 600 + ' + (307 + a)+ ' = ' + (-0.36*600 + 307 + a) + '\\)';
Conclusion !
On peut envisager de vendre
$("#js-50").innerHTML = '\\(' + (-0.36*600 + 307 + a) + '\\)'; télévisions à \( 600 \)€.
6. Déterminer le prix optimal pour vendre $("#js-51").innerHTML = '\\(' + (280 + a) + '\\)'; télévisions.
Si $("#js-53").innerHTML = '\\(' + ' y = ' + (280 + a) + '\\)'; , alors $("#js-54").innerHTML = '\\(' + (280 + a) + ' = -0.36\\times x+ ' + (307 + a) + '\\)';
Donc $("#js-55").innerHTML = '\\(' + ' x = (' + (280 + a) + ' - ' + (307 + a) + ')\\div (-0.36) = 27\\div 0.36 = 75\\)';
Conclusion !
On peut envisager de vendre
$("#js-56").innerHTML = '\\(' + (280 + a) + '\\)'; télévisions à \( 75 \)€.
3. Problème (8 points)
Vu la formule, nous effectuons le changement de variable \( p = y^2 \).
C'est à dire \( y = \sqrt{p} \).
| Année | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 | 2024 |
| Rang de l'année (\( x \)) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \( y \) | 0 | 5 | 7 | 11 | xxx | 18 |
Nous obtenons avec la méthode des moindres carrés que \( y = 3.5x+0.5 \) (revoir la dernière séance) !
Ainsi, \( p(x) = y^2 = (3.5x+0.5)^2 \).
Enfin, en \( 2023 \), \( p(4) = (3.5 \times 4+0.5)^2 = 210.25 \).