Ce chapitre est à la croisée de beaucoup de notions, aussi bien géométriques avec les vecteurs qu'analytiques avec les fonctions.

Dans tout cette leçon, on se place dans un repère \( (O, \vec{i}, \vec{j}) \).

Considérons une droite, définie par deux points \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B,;y_B) \). On cherche à caractériser le fait qu'un point \( M(x; y) \) appartienne à la droite \( (AB) \).

1. Équation cartésienne

Théorème et définition !
Considérons trois nombres réels \( m \), \( n \) et \( p \).
L'ensemble des points \( M(x; y) \) tels que \( mx + ny = p \) forment une droite \( (d) \).
On dit que \( mx + ny = p \) est une équation cartésienne de \( (d) \).

Remarque : il y a une infinité d'équations cartésiennes !
Par exemple, considérons la droite \( (d) \) d'équation cartésienne \( 2x + 4y = 6 \).
Alors \( 6x + 12y= 18 \) est encore une équation cartésienne de \( (d) \).

2. Au cas par cas

Cas a) \( m = 0 \) et \( n\neq 0 \)

Alors \( 0\times x + ny = p \) peut s'écrire \( y = \dfrac{p}{n} \).

Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Cas b) \( m\neq 0 \) et \( n = 0 \)

Alors \( m x + 0\times y = p \) peut s'écrire \( x = \dfrac{p}{m} \).

Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Cas c) L'équation réduite : \( m\neq 0 \) et \( n\neq 0 \).

Alors \( mx + ny = p \) peut s'écrire \( y = \dfrac{m}{n}x+\dfrac{p}{n} \).

Il s'agit de l'équation réduite de la droite \( (d) \). On note :

\( a = \dfrac{m}{n} \) : c'est le coefficient directeur de \( (d) \).

\( b = \dfrac{p}{n} \) : c'est l'ordonnée à l'origine de \( (d) \).

3. Technique à retenir

Si \( A(x_A; y_A) \) et \( B(x_B,;y_B) \) sont deux points du repère, on cherche à trouver une équation de la droite \( (AB) \).

Cas a) \( y_A = y_B \).
La droite \( (AB) \) a pour équation \( y = y_A \).
Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Cas b) \( x_A =x_B \)
La droite \( (AB) \) a pour équation \( x = x_A \).
Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

Cas c) On résout le système :

\( \left\{ \begin{array}{rcl} y_A & = & a x_A + b \\ y_B & = & a x_B + b \end{array} \right. \)

Par combinaison, on a :

\( a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \)

Par substitution, on a au choix :

\( b = y_A - ax_A \)

\( b = y_B - ax_B \)

Exemple : cherchons l'équation réduite de la droite passant par \( A(5; 7) \) et \( B(8; 3) \).

\( a = \dfrac{3 - 7}{8 - 5} = \dfrac{-4}{3} \)

\( b = 7 - \dfrac{-4}{3}\times 5 = \dfrac{21 + 20}{3} = \dfrac{41}{3} \)

Ainsi, l'équation réduite de la droite \( (AB) \) est \( y = \dfrac{-4}{3}x + \dfrac{41}{3} \).

Pour s'entraîner !