Les suites arithmétiques

Devoir surveillé no1
 | Vendredi 19 Septembre 2025

La calculatrice est autorisée. Sujet no = (- u0) +'.' + R.

Les automatismes (4 points)

Question no1

Question !
La valeur d’un appartement baisse successivement de $("#js-2").innerHTML = '\\(' + a + '\\)';% puis de $("#js-3").innerHTML = '\\(' + b + '\\)';%,
puis augmente de $("#js-4").innerHTML = '\\(' + c + '\\)';%. Quelle est l’évolution globale ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Question no2

Question !
Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation $("#js-22").innerHTML = '\\(' + a + 'x + ' + b + ' = ' + y + '\\)';.

La réponse doit être soigneusement justifiée.

Exercice (12 points)

On considère une suite \( (u_n) \), arithmétique, de premier terme $("#js-36").innerHTML = '\\(' + u0 +'\\)'; et de raison $("#js-37").innerHTML = '\\(' + R + '\\)';.

1. La suite est-elle croissante ?
Justifier votre réponse.

2. Calculer les valeurs \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \).

3. Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).

4. Calculer les valeurs \( u_{10} \), \( u_{20} \) et \( u_{30} \).

5. À partir de quel rang \( n \) obtient-on que \( (u_n) \) dépasse $("#js-46").innerHTML = '\\(' + (1+ u0 + 50*R) + '\\)'; ?
Justifier votre réponse.

6. Calculer la somme des \( (u_n) \) pour \( n \) allant de 0 à \( 30 \).

7. Notons \( N \), le rang à laquelle la somme des termes atteint $("#js-61").innerHTML = '\\(' + (41 * (u0 + 20*R)) + '\\)';.
Démontrer que :

$("#js-63").innerHTML = '\\(' + R + 'N^2 ' + (2*u0 + R) + 'N ' + (2*u0 - (82 * (u0 + 20*R))) +' = 0\\)';.

En déduire que \( N=40 \) convient.

Problème (4 points)

Sur un damier (c'est à dire une grille de \( 10\times 10 \) cases), plaçons $("#js-72").innerHTML = '\\(' + ble + '\\)'; grains de blé sur la première case, $("#js-73").innerHTML = '\\(' + (ble*2) + '\\)'; grains de blé sur la deuxième case, $("#js-74").innerHTML = '\\(' + (ble*3) + '\\)'; sur la troisième case… et ainsi de suite.
De combien de grains de blé allons-nous avoir besoin pour compléter entièrement le damier ?

La réponse doit être soigneusement justifiée.

■

Aide

Question n°1

=w $("#js-12").innerHTML = '\\(' + (Math.floor(100*t)/100) + '\\)';%.

=w $("#js-10").innerHTML = '\\(' + (Math.floor(100*(100 - a - b + c))/100) + '\\)';%.

=w $("#js-6").innerHTML = '\\(' + (Math.floor(100*r)/100) + '\\)';%.

=w $("#js-8").innerHTML = '\\(' + (Math.floor(100*(a + b + c))/100) + '\\)';%.

Question n°2

$("#js-24").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + rand(10, 19) + '\\)';

$("#js-26").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + rand(40, 49) + '\\)';

$("#js-23").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + x + '\\)';

$("#js-25").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + rand(20, 29) + '\\)';

■
Solution

Les automatismes (4 points)

Question no1

Passons d'écritures additives en écritures multiplicatives :

- Une baisse de $("#js-13").innerHTML = '\\(' + a + '\\)';% équivaut à multiplier par $("#js-14").innerHTML = '\\(' + '1 - 0.' + a + ' = 0.' + (100 - a) + '\\)';.
- Une baisse de $("#js-15").innerHTML = '\\(' + b + '\\)';% équivaut à multiplier par $("#js-16").innerHTML = '\\(' + '1 - 0.' + b + ' = 0.' + (100 - b) + '\\)';.
- Une hausse de $("#js-17").innerHTML = '\\(' + c + '\\)';% équivaut à multiplier par $("#js-18").innerHTML = '\\(' + '1 + 0.' + c + ' = 1.' + c + '\\)';.

L'évolution générale est donc donnée par :

$("#js-19").innerHTML = '\\(' + '0.' + (100 - a) + '\\times 0.' + (100 - b) + '\\times 1.' + c + ' = ' + Float.toTex(t/100, 8) + '\\)';

Conclusion !
= w $("#js-21").innerHTML = '\\(' + '100' + op + t + '\\approx' + (Math.floor(100*r)/100) + '\\)';%.

Question no2

$("#js-27").innerHTML = '\\(' + a + 'x + ' + b + '\\)';\( = \) $("#js-28").innerHTML = '\\(' + y + '\\)';
$("#js-29").innerHTML = '\\(' + a + 'x\\)';\( = \) $("#js-30").innerHTML = '\\(' + y + ' - ' + b + '\\)';
$("#js-31").innerHTML = '\\(' + a + 'x\\)';\( = \) $("#js-32").innerHTML = '\\(' + (y - b) + '\\)';
\( x \)\( = \) $("#js-33").innerHTML = '\\(' + (y - b) + '\\div ' + a + '\\)';
\( x \)\( = \) $("#js-34").innerHTML = '\\(' + x + '\\)';

On pourra revoir le cours sur les techniques de résolution des équations pour s'aider ! (Lien ici : [...] / 2_techniques_de_resolutions_d_equations)

Conclusion !
La solution de l'équation est $("#js-35").innerHTML = '\\(' + 'x = ' + x + '\\)';.

Exercice (12 points)

1. La suite est-elle croissante ?
Justifier votre réponse.

La raison étant positive, la suite arithmétique est croissante.

2. Calculer les valeurs \( u_1 \), \( u_2 \) et \( u_3 \).

$("#js-38").innerHTML = '\\(' + 'u_1 = u_0 + ' + R + ' = ' + u0 + ' + ' + R + ' = ' + (u0 + R) + '\\)';

$("#js-39").innerHTML = '\\(' + 'u_2 = u_1 + ' + R + ' = ' + (u0 + R) + ' + ' + R + ' = ' + (u0 + 2*R) + '\\)';

$("#js-40").innerHTML = '\\(' + 'u_3 = u_2 + ' + R + ' = ' + (u0 + 2*R) + ' + ' + R + ' = ' + (u0 + 3*R) + '\\)';

3. Exprimer \( u_n \) en fonction de \( n \).

$("#js-41").innerHTML = '\\(' + 'u_n = ' + u0 + ' + ' + R + 'n\\)';

4. Calculer les valeurs \( u_{10} \), \( u_{20} \) et \( u_{30} \).

$("#js-42").innerHTML = '\\(' + 'u_{10} = ' + u0 + ' + ' + R + '\\times 10 = ' + u0 + ' + ' + (10*R) + ' = ' + (u0 + 10*R) + '\\)';

$("#js-43").innerHTML = '\\(' + 'u_{20} = ' + u0 + ' + ' + R + '\\times 20 = ' + u0 + ' + ' + (20*R) + ' = ' + (u0 + 20*R) + '\\)';

$("#js-44").innerHTML = '\\(' + 'u_{30} = ' + u0 + ' + ' + R + '\\times 30 = ' + u0 + ' + ' + (30*R) + ' = ' + (u0 + 30*R) + '\\)';

5. À partir de quel rang \( n \) obtient-on que \( (u_n) \) dépasse $("#js-45").innerHTML = '\\(' + (1+ u0 + 50*R) + '\\)'; ?
Justifier votre réponse.

Commençons par résoudre l'équation $("#js-47").innerHTML = '\\(' + 'u_n = ' + (1+ u0 + 50*R) + '\\)'; :

$("#js-48").innerHTML = '\\(' + u0 + ' + ' + R + 'n\\)';= $("#js-49").innerHTML = '\\(' + (1+ u0 + 50*R) + '\\)';
$("#js-50").innerHTML = '\\(' + R + 'n\\)';= $("#js-51").innerHTML = '\\(' + (1+ u0 + 50*R) + ' - (' + u0 + ') \\)';
$("#js-52").innerHTML = '\\(' + R + 'n\\)';= $("#js-53").innerHTML = '\\(' + (1+ 50*R) + '\\)';
$("#js-54").innerHTML = '\\(' + 'n\\)';= $("#js-55").innerHTML = '\\(' + (1+ 50*R) + '\\div ' + R + '\\)';
$("#js-56").innerHTML = '\\(' + 'n\\)';= $("#js-57").innerHTML = '\\(' + '50 + \\dfrac{1}{' + R + '}\\)';

La suite étant croissante, il faut que \( n \) dépasse \( 50 \) pour que \( (u_n) \) dépasse $("#js-58").innerHTML = '\\(' + (1+ u0 + 50*R) + '\\)';.

6. Calculer la somme des \( (u_n) \) pour \( n \) allant de 0 à \( 30 \).

La suite étant arithmétique,

$("#js-59").innerHTML = '\\(' + '\\displaystyle\\sum_{n=0}^{30} u_n = \\frac{(30+1) \\times (u_0 + u_{30})}{2} = \\frac{(30+1) \\times (' + u0 + ' + ' + (u0 + 30*R) + ')}{2} = ' + (31 * (u0 + 15*R) ) + '\\)';

7. Notons \( N \), le rang à laquelle la somme des termes atteint $("#js-60").innerHTML = '\\(' + (41 * (u0 + 20*R)) + '\\)';.
Démontrer que :

$("#js-62").innerHTML = '\\(' + R + 'N^2 ' + (2*u0 + R) + 'N ' + (2*u0 - (82 * (u0 + 20*R))) +' = 0\\)';.

$("#js-64").innerHTML = '\\(' + '\\displaystyle\\sum_{n=0}^{N} u_n = \\frac{(N+1) \\times (u_0 + u_N)}{2}\\)';

$("#js-65").innerHTML = '\\(' + '\\displaystyle\\sum_{n=0}^{N} u_n = \\frac{(N+1) \\times (' + u0 + ' + (' + u0 + ' + ' + R + 'N))}{2}\\)';

$("#js-66").innerHTML = '\\(' + '\\displaystyle\\sum_{n=0}^{N} u_n = \\frac{(N+1) \\times (' + (2*u0) + ' + ' + R + 'N))}{2}\\)';

On développe par double distributivité :

$("#js-67").innerHTML = '\\(' + '\\displaystyle\\sum_{n=0}^{N} u_n = \\frac{'+ R + 'N^2 ' + (2*u0 + R) + 'N ' + (2*u0) +'}{2}\\)';

L'équation à résoudre est donc

$("#js-68").innerHTML = '\\(' + '\\dfrac{'+ R + 'N^2 ' + (2*u0 + R) + 'N ' + (2*u0) +'}{2} = ' + (41 * (u0 + 20*R)) + '\\)';

$("#js-69").innerHTML = '\\(' + R + 'N^2 ' + (2*u0 + R) + 'N ' + (2*u0) +' = ' + (82 * (u0 + 20*R)) + '\\)';

Finalement,

$("#js-70").innerHTML = '\\(' + R + 'N^2 ' + (2*u0 + R) + 'N ' + (2*u0 - (82 * (u0 + 20*R))) +' = 0\\)';

En déduire que \( N=40 \) convient.

En effet, $("#js-71").innerHTML = '\\(' + R + '\\times 40^2 ' + (2*u0 + R) + '\\times 40 ' + (2*u0 - (82 * (u0 + 20*R))) +' = 0\\)';